Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^pi4 sec ^2(x)e^tg(x) d x

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular a integral definida de 0 a pi/4 de sec^2(x)e^tan(x),dx. O conteúdo é o método de substituição em integrais, e vamos usar que a derivada de tan(x) é sec^2(x).

Passo 2

Reescrevemos o integrando como sec^2(x)e^-tan(x) e fazemos a substituição u=tan(x). Então du=sec^2(x),dx. Além disso, quando x=0, u=0, e quando x=pi/4, u=1.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos a nova integral em u:
integral0^1 e^-u,du

Passo 4

Para calcular integral0^1 e^-u,du, usamos que a antiderivada de e^-u é -e^-u. Logo,
integral0^1 e^-u,du = l[-e^-ur]0^1 = l(-e^-1r) - l(-e^0r) = 1 - e^-1

Resposta

1 - e^-1

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