integral (x+3) d x4 x^4+4 x^3+x^2

Passo 1

Aqui a gente precisa calcular integral x+34x^4+4x^3+x^2,dx. O tema é integração de funções racionais usando método de frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em termos mais simples.

Passo 2

Note que o denominador é 4x^4+4x^3+x^2=x^2(4x^2+4x+1). Como 4x^2+4x+1=(2x+1)^2, temos:
4x^4+4x^3+x^2 = x^2(2x+1)^2

Passo 3

Vamos escrever a decomposição em frações parciais:
x+3x^2(2x+1)^2 = Ax + Bx^2 + C2x+1 + D(2x+1)^2

Passo 4

Multiplicando pelos fatores x^2(2x+1)^2 e igualando numeradores, obtemos:
x+3 = A,x(2x+1)^2 + B,(2x+1)^2 + C,x^2(2x+1) + D,x^2
Expandindo e comparando coeficientes de potências de x, chegamos ao sistema:
4A+2C=0, 4A+4B+C+D=0, A+4B=1, B=3
Resolvendo, encontramos A=-11, B=3, C=22 e D=10.

Passo 5

Substituindo de volta, a integral vira
integrall(-11x+3x^2+222x+1+10(2x+1)^2r)dx

Passo 6

Agora é só integrar termo a termo:
  • integral-11xdx = -11ln|x|,
  • integral3x^2dx = 3integral x^-2dx = -3x,
  • integral222x+1dx = 22cdot12ln|2x+1| = 11ln|2x+1|,
  • (\displaystyle \int\frac{10}{(2x+1)^2}dx = 10\int(2x+1)^{-2}dx = 10\cdot\Bigl(-\frac{1}{2(2x+1)}\Bigr) = -\frac{5}{2x+1}.

Passo 7

Juntando tudo e acrescentando a constante de integração C, a resposta final é:
-11ln|x| - 3x + 11ln|2x+1| - 52x+1 + C

Resposta

-11\ln|x| - \frac{3}{x} + 11\ln|2x+1| - \frac{5}{2x+1} + C

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