Inverta a ordem de integração
integral-1^1[integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla

Conteúdo: integração dupla e troca de ordem de integração, que exige caracterizar a região de integração D no plano (x,y). A partir disso, projetamos D primeiro no eixo y e depois no eixo x para obter os novos limites.

Passo 2

Identificamos a região D definida por
$$
D = ,{(x,y)\mid -1 \le x \le 1,; -\sqrt{1 - x^2} \le y \le \sqrt{1 - x^2}}\n$$
É o disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Como em D temos x^2 + y^2 <= 1, vemos que y varia de -1 a 1. Para um y fixo, x deve satisfazer
-raiz1 - y^2 <= x <= raiz1 - y^2

Passo 4

Com esses limites, a integral com ordem invertida fica
$$
\int_{y=-1}^{1} \biggl[\int_{x=-\sqrt{1-y2}}{\sqrt{1-y^2}} f(x,y),dx\biggr] dy.
$$

Resposta

$$\n\int_{y=-1}^{1} \int_{x=-\sqrt{1-y2}}{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) , dx , dy
$$

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