Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
Conteúdo: integração dupla e troca de ordem de integração, que exige caracterizar a região de integração D no plano (x,y). A partir disso, projetamos D primeiro no eixo y e depois no eixo x para obter os novos limites.
Conteúdo: integração dupla e troca de ordem de integração, que exige caracterizar a região de integração D no plano (x,y). A partir disso, projetamos D primeiro no eixo y e depois no eixo x para obter os novos limites.
Passo 2
Identificamos a região D definida por
$$
D = ,{(x,y)\mid -1 \le x \le 1,; -\sqrt{1 - x^2} \le y \le \sqrt{1 - x^2}}\n$$
É o disco de raio 1 centrado na origem.
É o disco de raio 1 centrado na origem.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos D no eixo y. Como em D temos
, vemos que y varia de -1 a 1. Para um y fixo, x deve satisfazer
Passo 4
Com esses limites, a integral com ordem invertida fica
$$
\int_{y=-1}^{1} \biggl[\int_{x=-\sqrt{1-y2}}{\sqrt{1-y^2}} f(x,y),dx\biggr] dy.
$$
Resposta
$$\n\int_{y=-1}^{1} \int_{x=-\sqrt{1-y2}}{\sqrt{1-y^2}} f(x,y) , dx , dy
$$