Calcule as seguintes integrais usando o método de integração por partes:
\int\left(x^{2}+x+5\right) \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \int (x^{2}+x+5)\,\sin x\,dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2} + x + 5, \quad dv = \sin x\,dx.
Então
du = (2x+1)\,dx, \quad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int (x^{2}+x+5)\,\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = -\,(x^{2}+x+5)\cos x - \int\bigl(-\cos x\bigr)\,(2x+1)\,dx
\hspace{3.5cm} = -\,(x^{2}+x+5)\cos x + \int (2x+1)\cos x\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle \int (2x+1)\cos x\,dx separamos:
\int (2x+1)\cos x\,dx = 2\int x\cos x\,dx + \int \cos x\,dx.
A segunda é imediata:
\int \cos x\,dx = \sin x.
Para \displaystyle \int x\cos x\,dx usamos partes de novo com
\;U=x,\;dV=\cos x\,dx, obtendo
DU=dx,\quad V=\sin x, \quad \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Então
2\int x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x,
\int (2x+1)\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x + \sin x.

Passo 5

Substituindo de volta:
\int (x^{2}+x+5)\sin x\,dx = -\,(x^{2}+x+5)\cos x + \bigl(2x\sin x + 2\cos x + \sin x\bigr) + C.
Agrupando termos semelhantes em \cos x e \sin x:
= -x^{2}\cos x - x\cos x -5\cos x +2\cos x +2x\sin x +\sin x +C
= -x^{2}\cos x - x\cos x -3\cos x + (2x+1)\sin x + C.

Resposta

\boxed{-x^{2}\cos x - x\cos x -3\cos x + (2x+1)\sin x + C}.

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