Encontre uma família de soluções para as equações diferenciais de primeira ordem:
x^{2} \frac{d y}{d x}+3 x y=e^{-4 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de primeira ordem
x^{2}\frac{dy}{dx}+3x\,y=e^{-4x}.
Esse tipo de equação é linear em y. Vamos colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Dividimos tudo por x^{2} (supondo x\neq0) para obter
\frac{dy}{dx}+\frac{3}{x}\,y=\frac{e^{-4x}}{x^{2}}.
Aqui p(x)=3/x e q(x)=e^{-4x}/x^{2}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) =\exp\Bigl(\int \tfrac{3}{x}\,dx\Bigr) =\exp(3\ln|x|)=x^{3}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por x^{3}:
x^{3}\frac{dy}{dx}+3x^{2}y =x\,e^{-4x},
que é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}y\bigr)=x\,e^{-4x}.
Agora integramos em x:
x^{3}y =\int x\,e^{-4x}\,dx.
Fazendo integração por partes ( u=x, dv=e^{-4x}dx) obtemos
\int x\,e^{-4x}\,dx =-\frac{x}{4}e^{-4x} -\frac{1}{16}e^{-4x}+C.
Logo
x^{3}y =e^{-4x}\Bigl(-\frac{x}{4}-\frac{1}{16}\Bigr)+C.

Passo 5

Isolando y:
y =\frac{1}{x^{3}}\Bigl[e^{-4x}\Bigl(-\tfrac{x}{4}-\tfrac{1}{16}\Bigr)+C\Bigr] =-\frac{4x+1}{16x^{3}}\,e^{-4x}+\frac{C}{x^{3}}.

Resposta

y(x)=-\frac{4x+1}{16x^{3}}\,e^{-4x}+\frac{C}{x^{3}},
onde C é constante arbitrária.

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