Encontre uma família de soluções para as equações diferenciais de primeira ordem:
\left(\sin x+x^{2} e^{y}-1\right) \frac{d y}{d x}=-\left(y \cos x+2 x e^{y}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a família geral de soluções da equação diferencial de primeira ordem
\bigl(\sin x + x^{2}e^{y}-1\bigr)\,\frac{dy}{dx} \;=\; -\bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr).
O conteúdo aqui é o método de equações exatas: reconhecer M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0, testar a exatidão e encontrar uma função potencial \Phi(x,y).

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial, temos
y\cos x + 2x e^{y}\;+\;\bigl(\sin x + x^{2}e^{y}-1\bigr)\,\frac{dy}{dx}=0
ou seja
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=y\cos x + 2x e^{y}, \qquad N(x,y)=\sin x + x^{2}e^{y}-1.

Passo 3

Testamos se a forma é exata, comparando
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos x + 2x e^{y}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \cos x + 2x e^{y}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Integramos M em relação a x:
\Phi(x,y) =\int\bigl(y\cos x + 2x e^{y}\bigr)\,dx = y\sin x + x^{2}e^{y} + h(y).
Agora impomos \partial\Phi/\partial y=N:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \sin x + x^{2}e^{y} + h'(y) \overset{!}{=}\sin x + x^{2}e^{y}-1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1
Logo h(y)=-y+ constante. Desprezando a constante em \Phi,
\Phi(x,y)=y\sin x + x^{2}e^{y} - y.

Resposta

A família geral de soluções, em forma implícita, é
y\sin x + x^{2}e^{y} - y = C,
onde C é constante de integração.

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