(1 ponto) Sejam \alpha=\sqrt{2}, \beta=\sqrt[3]{2} e \gamma=\sqrt[4]{2}. Calcule o grau da extensāo \mathbb{Q}[\alpha, \beta, \gamma].

Passo 1

O enunciado dá três números:
\alpha=\sqrt{2}, \beta=\sqrt[3]{2} e \gamma=\sqrt[4]{2}, e pede o grau da extensão \mathbb{Q}[\alpha,\beta,\gamma] sobre \mathbb{Q}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \alpha satisfaz o polinômio x^{2}-2.
  • \beta satisfaz o polinômio x^{3}-2.
  • \gamma satisfaz o polinômio x^{4}-2.
    O objetivo é calcular [\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma):\mathbb{Q}], o grau da extensão gerada por \alpha,\beta,\gamma.

Passo 2

Vou lembrar duas ferramentas que usarei (explicando como funcionam de forma prática):
  • Se \theta é raiz de um polinômio irreducível em \mathbb{Q}[x] de grau n, então [\mathbb{Q}(\theta):\mathbb{Q}]=n. Ou seja, o grau da extensão gerada por um elemento é o grau do seu polinômio mínimo.
  • A lei do torre: se F\subseteq K\subseteq L são extensões de corpos de dimensão finita, então [L:F]=[L:K]\cdot[K:F]. Isso permite multiplicar graus ao construir extensões passo a passo.

Passo 3

Determinar os polinômios mínimos e seus graus:
  • O polinômio x^{2}-2 é irreducível em \mathbb{Q}[x] (pelo critério de Eisenstein com p=2), logo o polinômio mínimo de \alpha é x^{2}-2 e [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2.
  • O polinômio x^{3}-2 é irreducível em \mathbb{Q}[x] (Eisenstein com p=2), logo o polinômio mínimo de \beta é x^{3}-2 e [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]=3.
  • O polinômio x^{4}-2 é irreducível em \mathbb{Q}[x] (Eisenstein com p=2), logo o polinômio mínimo de \gamma é x^{4}-2 e [\mathbb{Q}(\gamma):\mathbb{Q}]=4.
Comentários rápidos sobre Eisenstein (mini-aula): o critério diz que se existe primo p que divide todos os coeficientes, não divide o coeficiente principal, e p^{2} não divide o termo constante, então o polinômio é irreducível. Para x^{n}-2 escolhemos p=2: todos os coeficientes (os zeros intermediários e o termo constante -2) são divisíveis por 2, o termo líder é 1 (não divisível por 2) e 2^{2}=4 não divide -2. Logo irreducível.

Passo 4

Calcular [\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}]. Pelo argumento de graus: [\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}(\beta)]\cdot[\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}].
Agora verifico se \alpha pertence a \mathbb{Q}(\beta). Se \alpha\in\mathbb{Q}(\beta), então [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}] seria múltiplo de [\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]=2. Mas [\mathbb{Q}(\beta):\mathbb{Q}]=3, que é ímpar, então não pode ser múltiplo de 2. Portanto \alpha\notin\mathbb{Q}(\beta). Assim o polinômio mínimo de \alpha sobre \mathbb{Q}(\beta) ainda tem grau 2, isto é [\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}(\beta)]=2. Logo
[\mathbb{Q}(\alpha,\beta):\mathbb{Q}]=2\cdot 3=6.

Passo 5

Observo uma relação entre as potências: todas as três raízes vêm de potências de 2. Se eu definir \delta=2^{1/12}, então
\delta^{6}=2^{6/12}=2^{1/2}=\alpha,
\delta^{4}=2^{4/12}=2^{1/3}=\beta,
\delta^{3}=2^{3/12}=2^{1/4}=\gamma.
Portanto \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Q}(\delta), o que implica \mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)\subseteq\mathbb{Q}(\delta).
Esse é um passo muito útil: ver que um gerador comum \delta=2^{1/12} produz todos os outros por potências inteiras.

Passo 6

Agora preciso mostrar a inclusão inversa \delta\in\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma), para concluir que as duas extensões são iguais. Procuro expressar \delta como produto de potências inteiras de \alpha,\beta,\gamma. Busco inteiros u,v,w tais que
6u+4v+3w=1,
pois então \delta=\alpha^{u}\beta^{v}\gamma^{w} (porque \alpha=\delta^{6}, \beta=\delta^{4}, \gamma=\delta^{3}). Como \gcd(6,4,3)=1, existe solução inteira. Uma solução explícita: u=1, v=-2, w=1, já que
6\cdot 1 + 4\cdot(-2) + 3\cdot 1 = 6 - 8 + 3 = 1.
Portanto
\delta=\alpha^{1}\beta^{-2}\gamma^{1}=\frac{\alpha\gamma}{\beta^{2}}.
Como \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma), seus inversos e potências inteiras também estão no campo, logo \delta\in\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma). Assim
\mathbb{Q}(\delta)\subseteq\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma).

Passo 7

Das inclusões dos passos anteriores temos igualdade:
\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)=\mathbb{Q}(\delta),
com \delta=2^{1/12}. Logo o grau que buscamos é [\mathbb{Q}(\delta):\mathbb{Q}], que é o grau do polinômio mínimo de \delta sobre \mathbb{Q}.

Passo 8

Determinar o polinômio mínimo de \delta. Note que \delta é raiz de x^{12}-2. O polinômio x^{12}-2 é irreducível sobre \mathbb{Q} pelo critério de Eisenstein com p=2: todos os coeficientes (exceto o líder) são divisíveis por 2 e o termo constante -2 não é divisível por 4. Portanto x^{12}-2 é o polinômio mínimo de \delta e tem grau 12. Assim
[\mathbb{Q}(\delta):\mathbb{Q}]=12.

Resposta

12

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