(1 ponto) Sejam
e
. Calcule o grau da extensāo
.
Passo 1
O enunciado dá três números:
,
e
, e pede o grau da extensão
sobre
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
satisfaz o polinômio . -
satisfaz o polinômio . -
satisfaz o polinômio .
O objetivo é calcular, o grau da extensão gerada por .
Passo 2
Vou lembrar duas ferramentas que usarei (explicando como funcionam de forma prática):
- Se
é raiz de um polinômio irreducível em de grau , então . Ou seja, o grau da extensão gerada por um elemento é o grau do seu polinômio mínimo. - A lei do torre: se
são extensões de corpos de dimensão finita, então . Isso permite multiplicar graus ao construir extensões passo a passo.
Passo 3
Determinar os polinômios mínimos e seus graus:
- O polinômio
é irreducível em (pelo critério de Eisenstein com ), logo o polinômio mínimo de é e . - O polinômio
é irreducível em (Eisenstein com ), logo o polinômio mínimo de é e . - O polinômio
é irreducível em (Eisenstein com ), logo o polinômio mínimo de é e .
Comentários rápidos sobre Eisenstein (mini-aula): o critério diz que se existe primo
que divide todos os coeficientes, não divide o coeficiente principal, e
não divide o termo constante, então o polinômio é irreducível. Para
escolhemos
: todos os coeficientes (os zeros intermediários e o termo constante
) são divisíveis por
, o termo líder é
(não divisível por
) e
não divide
. Logo irreducível.
Passo 4
Calcular
. Pelo argumento de graus:
.
Agora verifico se pertence a
. Se
, então
seria múltiplo de
. Mas
, que é ímpar, então não pode ser múltiplo de
. Portanto
. Assim o polinômio mínimo de
sobre
ainda tem grau
, isto é
. Logo
Agora verifico se
Passo 5
Observo uma relação entre as potências: todas as três raízes vêm de potências de
. Se eu definir
, então
Portanto
, o que implica
.
Esse é um passo muito útil: ver que um gerador comum
produz todos os outros por potências inteiras.
Passo 6
Agora preciso mostrar a inclusão inversa
, para concluir que as duas extensões são iguais. Procuro expressar
como produto de potências inteiras de
. Busco inteiros
tais que
pois então
(porque
,
,
). Como
, existe solução inteira. Uma solução explícita:
,
,
, já que
Portanto
Como
, seus inversos e potências inteiras também estão no campo, logo
. Assim
Passo 7
Das inclusões dos passos anteriores temos igualdade:
com
. Logo o grau que buscamos é
, que é o grau do polinômio mínimo de
sobre
.
Passo 8
Determinar o polinômio mínimo de
. Note que
é raiz de
. O polinômio
é irreducível sobre
pelo critério de Eisenstein com
: todos os coeficientes (exceto o líder) são divisíveis por
e o termo constante
não é divisível por
. Portanto
é o polinômio mínimo de
e tem grau
. Assim