Considere o polinômio f=x^{4}-25 \in \mathbb{Q}[x].
(a) ( 0,75 ponto) Calcule todas as raízes de f.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio f(x)=x^{4}-25 em \mathbb{Q}[x] e pede para calcular todas as suas raízes.\n
Informações relevantes:
  • Temos a expressão explícita de f(x).
  • Queremos todos os valores de x (possivelmente complexos) tais que f(x)=0.

Passo 2

O que é uma raiz (ou zero) de um polinômio?
Uma raiz é um número x tal que, ao substituir na expressão do polinômio, obtemos zero: f(x)=0. Aqui x é a variável do polinômio. Nosso objetivo é resolver a equação
x^{4}-25=0.

Passo 3

Vou transformar a equação para um formato mais fácil de fatorar. Observe que podemos escrever x^{4}-25 como uma diferença de quadrados, porque (x^{2})^{2}=x^{4} e 5^{2}=25. A identidade diferença de quadrados é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui tomamos a=x^{2} e b=5.

Passo 4

Aplicando a identidade ao nosso polinômio obtemos a fatoração
x^{4}-25=(x^{2}-5)(x^{2}+5).
Pelo princípio do produto nulo (se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero), as raízes satisfazem
x^{2}-5=0 \quad\text{ou}\quad x^{2}+5=0.

Passo 5

Resolvo a primeira equação quadrática x^{2}-5=0. Isso dá
x^{2}=5.
Tomando a raiz quadrada (lembrando que há duas soluções, positiva e negativa), obtemos
x=\pm\sqrt{5}.
Explicação didática: \sqrt{5} é o número positivo cujo quadrado é 5. Ele é irracional, mas é uma raiz real do polinômio.

Passo 6

Agora resolvo a segunda equação quadrática x^{2}+5=0. Isolando x^{2} temos
x^{2}=-5.
Não existem números reais cujo quadrado seja negativo, então passamos ao conjunto dos números complexos. Introduzimos a unidade imaginária i, definida por i^{2}=-1. Assim
x^{2}=-5 \iff x^{2}=(-1)\cdot 5 = (i^{2})\cdot 5.
Tomando raízes, obtemos as duas soluções complexas
x=\pm i\sqrt{5}.
Aqui i\sqrt{5} é um número imaginário puro cujo quadrado é -5.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança):
  • Para x=\sqrt{5}: (\sqrt{5})^{4}=( (\sqrt{5})^{2})^{2}=5^{2}=25, então x^{4}-25=0.
  • Para x=i\sqrt{5}: (i\sqrt{5})^{4}=i^{4}(\sqrt{5})^{4}=1\cdot 25=25 porque i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1. Logo também zera o polinômio.
    Portanto as quatro soluções encontradas são válidas e distintas.

Passo 8

Conclusão: as quatro raízes (no corpo dos complexos) do polinômio f(x)=x^{4}-25 são exatamente os números reais e complexos obtidos acima.

Resposta

\sqrt{5}
-\sqrt{5}
i\sqrt{5}
-i\sqrt{5}

Exercícios relacionados