Considere o polinômio
.
(a) ( 0,75 ponto) Calcule todas as raízes de
.
(a) ( 0,75 ponto) Calcule todas as raízes de
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
em
e pede para calcular todas as suas raízes.\n
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Temos a expressão explícita de
. - Queremos todos os valores de
(possivelmente complexos) tais que .
Passo 2
O que é uma raiz (ou zero) de um polinômio?
Uma raiz é um número tal que, ao substituir na expressão do polinômio, obtemos zero:
. Aqui
é a variável do polinômio. Nosso objetivo é resolver a equação
Uma raiz é um número
Passo 3
Vou transformar a equação para um formato mais fácil de fatorar. Observe que podemos escrever
como uma diferença de quadrados, porque
e
. A identidade diferença de quadrados é
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui tomamos
e
.
Passo 4
Aplicando a identidade ao nosso polinômio obtemos a fatoração
Pelo princípio do produto nulo (se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero), as raízes satisfazem
Passo 5
Resolvo a primeira equação quadrática
. Isso dá
Tomando a raiz quadrada (lembrando que há duas soluções, positiva e negativa), obtemos
Explicação didática:
é o número positivo cujo quadrado é
. Ele é irracional, mas é uma raiz real do polinômio.
Passo 6
Agora resolvo a segunda equação quadrática
. Isolando
temos
Não existem números reais cujo quadrado seja negativo, então passamos ao conjunto dos números complexos. Introduzimos a unidade imaginária
, definida por
. Assim
Tomando raízes, obtemos as duas soluções complexas
Aqui
é um número imaginário puro cujo quadrado é
.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança):
- Para
: , então . - Para
: porque . Logo também zera o polinômio.
Portanto as quatro soluções encontradas são válidas e distintas.
Passo 8
Conclusão: as quatro raízes (no corpo dos complexos) do polinômio
são exatamente os números reais e complexos obtidos acima.