Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+4}\,dx
usando o método de substituição. Vamos precisar reconhecer uma parte da integral cuja derivada apareça multiplicando-a.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x,
portanto
du = e^x\,dx.
Note que o numerador e^x\,dx se transforma exatamente em du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+4}\,dx = \int \frac{du}{u^2 + 4}.

Passo 4

Usamos a fórmula conhecida
\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr) + C.
Aqui a^2 = 4 implica a=2. Logo,
\int \frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{e^x}{2}\bigr) + C

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