Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \operatorname{sen} x\left(2+\cos ^{3} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sin x\bigl(2 + \cos^{3}x\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Vamos usar a substituição u=\cos x, pois a derivada de \cos x envolve \sin x.

Passo 2

Definimos
u = \cos x
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du = -\sin x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin x\,dx = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \sin x\bigl(2 + \cos^{3}x\bigr)\,dx = \int (2 + u^{3})\bigl(\sin x\,dx\bigr) = \int (2 + u^{3})(-\,du) = -\int (2 + u^{3})\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
-\int (2 + u^{3})\,du = -\Bigl(\int 2\,du + \int u^{3}\,du\Bigr) = -\Bigl(2u + \frac{u^{4}}{4}\Bigr) + C = -2u - \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 5

Voltando à variável x (onde u=\cos x), fica
-2u - \frac{u^{4}}{4} + C = -2\cos x - \frac{\cos^{4}x}{4} + C.

Resposta

\int \sin x\bigl(2 + \cos^{3}x\bigr)\,dx = -2\cos x - \frac{\cos^{4}x}{4} + C.

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