Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \frac{\operatorname{arccos} (2 x)}{3 \sqrt{1-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\operatorname{arccos}(2x)}{3\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx
usando o método de substituição. Vamos usar uma mudança de variável que simplifique a composição com a função \operatorname{arccos} e aproveite a derivada de \operatorname{arccos}.

Passo 2

Definimos a substituição
u = \operatorname{arccos}(2x).
Isso faz com que a parte complicada da integral — a \operatorname{arccos}(2x) — vire simplesmente u.

Passo 3

Agora computamos du. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos}(2x)\bigr) = -\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^{2}}} = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}.
Logo,
du = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{\sqrt{1-4x^{2}}} = -\frac{du}{2}.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{\operatorname{arccos}(2x)}{3\sqrt{1-4x^{2}}}\,dx = \frac{1}{3}\int u\;\frac{dx}{\sqrt{1-4x^{2}}} = \frac{1}{3}\int u\biggl(-\frac{du}{2}\biggr) = -\frac{1}{6}\int u\,du.

Passo 5

Integramos em u:
-\frac{1}{6}\int u\,du = -\frac{1}{6}\cdot\frac{u^{2}}{2} = -\frac{u^{2}}{12}+C.

Passo 6

Voltando à variável x, recordando que u=\operatorname{arccos}(2x), obtemos
-\frac{(\operatorname{arccos}(2x))^{2}}{12}+C.

Resposta

-\frac{(\operatorname{arccos}(2x))^{2}}{12}+C.

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