Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \frac{3}{x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por substituição \r
\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx \r
O conteúdo aqui é a integral do tipo \r
\int \frac{du}{u^{2}+1}= \arctan(u)+C. \r
Vamos usar uma substituição que deixe o denominador na forma u^{2}+1.

Passo 2

Extraímos a constante e notamos que 4=(2)^{2}: \r
\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx = 3\int \frac{1}{x^{2}+(2)^{2}}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição \r
\;u = \frac{x}{2},\quad dx = 2\,du. \r
Além disso, \r
x^{2}+4 = 4\Bigl(u^{2}+1\Bigr). \r
Substituindo na integral: \r
3\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx =3\int \frac{1}{4\bigl(u^{2}+1\bigr)}\,(2\,du) =\frac{6}{4}\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du =\frac{3}{2}\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du.

Passo 4

Agora usamos a fórmula básica \r
\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du = \arctan(u)+C. \r
Logo \r
\frac{3}{2}\int \frac{1}{u^{2}+1}\,du =\frac{3}{2}\,\arctan(u)+C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembrando u = \frac{x}{2}: \r
\frac{3}{2}\,\arctan(u)+C =\frac{3}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C.

Resposta

\int \frac{3}{x^{2}+4}\,dx =\frac{3}{2}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)+C.

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