Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int x \mathrm{e}^{2 x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int x\,e^{2x^{2}+1}\,dx
usando o método de substituição. Esse método consiste em identificar uma parte da integral cuja derivada apareça multiplicando-a, para simplificar a expressão.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 2x^{2} + 1
porque a derivada de 2x^{2}+1 envolve exatamente o fator x\,dx presente na integral.

Passo 3

Derivando u em relação a x, obtemos
du = 4x\,dx
ou seja,
x\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
\int x\,e^{2x^{2}+1}\,dx = \int e^{u}\,\bigl(\tfrac{1}{4}\,du\bigr) = \tfrac{1}{4}\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} é e^{u}, então
\tfrac{1}{4}\int e^{u}\,du = \tfrac{1}{4}\,e^{u} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = 2x^{2}+1 de volta:
\tfrac{1}{4}\,e^{u} + C = \tfrac{1}{4}\,e^{2x^{2}+1} + C.

Resposta

\int x\,e^{2x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{4}\,e^{2x^{2}+1} + C.

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