Calcule as seguintes integrais.
\int \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{3} x \sqrt[3]{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \Bigl(\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{3}\,x\,\sqrt[3]{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo usado aqui é a regra de potências, que diz que
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada termo como potência de x.
\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\tfrac12}
e
\frac{1}{3}\,x\,\sqrt[3]{x} = \frac{1}{3}\,x\cdot x^{\tfrac13} = \frac{1}{3}\,x^{1+\tfrac13} = \frac{1}{3}\,x^{\tfrac43}.
Assim a integral vira
\int \Bigl(x^{-\tfrac12} + \tfrac13\,x^{\tfrac43}\Bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos o primeiro termo usando n=-\tfrac12:
\int x^{-\tfrac12}\,dx = \frac{x^{-\tfrac12+1}}{-\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,x^{\tfrac12}.

Passo 4

Agora o segundo termo. Fatoramos a constante e aplicamos com n=\tfrac43:
\int \tfrac13\,x^{\tfrac43}\,dx = \tfrac13\;\frac{x^{\tfrac43+1}}{\tfrac43+1} = \tfrac13\;\frac{x^{\tfrac73}}{\tfrac73} = \tfrac13\;\frac{3}{7}\,x^{\tfrac73} = \frac{1}{7}\,x^{\tfrac73}.

Passo 5

Somando as duas partes, a antiderivada geral é
2\,x^{\tfrac12} \;+\;\frac{1}{7}\,x^{\tfrac73} + C.

Resposta

2\,x^{\tfrac12} + \frac{1}{7}\,x^{\tfrac73} + C.

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