Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
\int \frac{\ln x+1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\ln x + 1}{x}\,dx
usando o método de substituição. A ideia é reconhecer que a derivada de \ln x é \tfrac1x, de modo que podemos definir uma nova variável u para simplificar a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \ln x, \qquad du = \frac{1}{x}\,dx.
Assim, a integral original
\int \frac{\ln x + 1}{x}\,dx
torna-se
\int \bigl(u + 1\bigr)\,du = \int u\,du + \int 1\,du.

Passo 3

Agora integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^2}{2}, \qquad \int 1\,du = u.
Portanto,
\int \bigl(u+1\bigr)\,du = \frac{u^2}{2} + u + C.

Passo 4

Voltando à variável x pela relação u = \ln x, obtemos
\frac{u^2}{2} + u + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + \ln x + C.

Resposta

\frac{(\ln x)^2}{2} + \ln x + C.

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