Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
j) integral ln (x)+2x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral ln(x)+2x,dx usando o método de substituição. O conteúdo envolve reconhecer uma função composta e sua derivada, que é a base da técnica de substituição em integrais.

Passo 2

Observando o integrando ln(x)+2x, vemos que ln(x) é uma função cuja derivada é 1/x. Como temos exatamente dx/x no integrando, faz sentido usar u=ln(x).

Passo 3

Definimos a substituição
$$
u = \ln(x), u = ln(x),ãdu = \frac{1}{x},dx$$
ou seja du = 1x,dx.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral ln(x)+2x,dx = integral (u+2),du
Agora integramos em u:
integral (u+2),du = integral u,du + integral 2,du = u^22 + 2u + C
Voltando à variável x pela relação u=ln(x), a antiderivada fica
(ln(x))^22 + 2ln(x) + C

Resposta

(ln(x))^22 + 2ln(x) + C

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