Questão 1: (3.5 pontos) Seja
a curva definida pela interseção das superfícies
e
.
Calcule
, onde
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva $ C $ que é a interseção das superfícies $ z = x + y $ e $ z = x^2 + y^2 $. A gente precisa calcular a integral de linha $ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $, onde $ \mathbf{F} = (y^2, x^2, 3e^{z}) $.
Pra resolver isso, vamos precisar usar Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Vamos também precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e parametrizar a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva $ C $. Ela é definida pela interseção das duas superfícies:
- $ z = x + y $
- $ z = x^2 + y^2 $
Para achar a curva de interseção, igualamos as duas expressões para $ z $:
Isso nos dá a equação de uma curva no plano $ xy $. Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Vamos completar o quadrado para facilitar a visualização da curva:
Completa o quadrado para $ x $ e $ y $:
Simplificando:
Isso representa um círculo no plano $ xy $ com centro em $ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ e raio $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
Onde $ S $ é uma superfície cujo contorno é $ C $, $ \nabla \times \mathbf{F} $ é o rotacional de $ \mathbf{F} $, e $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 5
Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $:
O rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
- $ \frac{\partial}{\partial y}(3e^{z}) = 0 $ (pois $ z $ não depende de $ y $)
- $ \frac{\partial}{\partial z}(x^2) = 0 $
- $ \frac{\partial}{\partial z}(y^2) = 0 $
- $ \frac{\partial}{\partial x}(3e^{z}) = 0 $
- $ \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x $
- $ \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y $
Então:
Passo 6
Agora, precisamos determinar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície $ S $ que está definida por $ z = x + y $.
A forma geral para $ \mathbf{n} $ é:
Onde $ f(x,y) = x + y $, então:
Então:
Passo 7
Vamos calcular o produto escalar $ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} $:
Passo 8
Agora, a integral de superfície se torna:
Onde $ D $ é a projeção da superfície $ S $ no plano $ xy $, que é o círculo que encontramos anteriormente.
Passo 9
Para simplificar, vamos mudar as coordenadas para centralizar o círculo. Definimos:
Então, $ x = u + \frac{1}{2} $ e $ y = v + \frac{1}{2} $. A equação do círculo fica:
E a expressão $ 2x - 2y $ se transforma em:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Observamos que a função $ 2u - 2v $ é ímpar em relação a ambos os eixos $ u $ e $ v $, e estamos integrando sobre uma região simétrica ao redor da origem. Portanto, a integral de funções ímpares sobre regiões simétricas é zero.