Questão 1: (3.5 pontos) Seja C a curva definida pela interseção das superfícies z=x+y e z=x^2+y^2.
Calcule ointC F cdot d r, onde
F=(y^2, x^2, 3 e^z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma curva $ C $ que é a interseção das superfícies $ z = x + y $ e $ z = x^2 + y^2 $. A gente precisa calcular a integral de linha $ \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $, onde $ \mathbf{F} = (y^2, x^2, 3e^{z}) $.
Pra resolver isso, vamos precisar usar Cálculo Vetorial, especialmente o Teorema de Stokes, que relaciona integrais de linha com integrais de superfície. Vamos também precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e parametrizar a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva $ C $. Ela é definida pela interseção das duas superfícies:
  1. $ z = x + y $
  2. $ z = x^2 + y^2 $
Para achar a curva de interseção, igualamos as duas expressões para $ z $:
C
Isso nos dá a equação de uma curva no plano $ xy $. Podemos reescrever isso como:
z = x + y

Passo 3

Vamos completar o quadrado para facilitar a visualização da curva:
x^2 - x + y^2 - y = 0
Completa o quadrado para $ x $ e $ y $:
x
Simplificando:
y
Isso representa um círculo no plano $ xy $ com centro em $ (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) $ e raio $ \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde $ S $ é uma superfície cujo contorno é $ C $, $ \nabla \times \mathbf{F} $ é o rotacional de $ \mathbf{F} $, e $ \mathbf{n} $ é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos calcular o rotacional de $ \mathbf{F} $:
F
O rotacional é dado por:
F = (y^2, x^2, 3e^z)
Calculando cada componente:
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(3e^{z}) = 0 $ (pois $ z $ não depende de $ y $)
  • $ \frac{\partial}{\partial z}(x^2) = 0 $
  • $ \frac{\partial}{\partial z}(y^2) = 0 $
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(3e^{z}) = 0 $
  • $ \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x $
  • $ \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y $
Então:
nabla times F = ( partialpartial y(3e^z) - partialpartial z(x^2), partialpartial z(y^2) - partialpartial x(3e^z), partialpartial x(x^2) - partialpartial y(y^2) )

Passo 6

Agora, precisamos determinar o vetor normal $ \mathbf{n} $ à superfície $ S $ que está definida por $ z = x + y $.
A forma geral para $ \mathbf{n} $ é:
n
Onde $ f(x,y) = x + y $, então:
S
Então:
z = x + y

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar $ (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} $:
(nabla times F) cdot n

Passo 8

Agora, a integral de superfície se torna:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (2x - 2y) , dA
Onde $ D $ é a projeção da superfície $ S $ no plano $ xy $, que é o círculo que encontramos anteriormente.

Passo 9

Para simplificar, vamos mudar as coordenadas para centralizar o círculo. Definimos:
u = x - 12, v = y - 12
Então, $ x = u + \frac{1}{2} $ e $ y = v + \frac{1}{2} $. A equação do círculo fica:
x = u + 12
E a expressão $ 2x - 2y $ se transforma em:
y = v + 12

Passo 10

Agora, a integral fica:
integral duplau^2 + v^2 <= 12 (2u - 2v) , du , dv
Observamos que a função $ 2u - 2v $ é ímpar em relação a ambos os eixos $ u $ e $ v $, e estamos integrando sobre uma região simétrica ao redor da origem. Portanto, a integral de funções ímpares sobre regiões simétricas é zero.

Resposta

ointC F cdot d r = 0

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