Questão I: (6,0) Resolva as equações diferencias abaixo.
OBS: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução.
Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
x y^prime=x+y.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial x,y' = x + y. O conteúdo é equação de primeira ordem e vamos usar o método de equação linear, ou seja, fator integrante.

Passo 2

Colocando na forma padrão de equação linear y' + P(x)y = Q(x), dividimos por x (supondo xneq0) e obtemos
dydx - 1xy = 1

Passo 3

Calculando o fator integrante mu(x) = e^integral P(x),dx com P(x) = -tfrac1x:
mu(x) = e^integral -tfrac1x,dx = e^-ln|x| = x^-1

Passo 4

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante x^-1 resulta em
x^-1dydx - x^-2y = x^-1
que é exatamente a derivada do produto ddxl(y,x^-1r). Então integramos ambos os lados:
ddxl(y,x^-1r) = x^-1
y,x^-1 = integral x^-1,dx = ln|x| + C

Passo 5

Isolando y, multiplicamos por x e achamos a solução geral
y(x) = xln|x| + Cx

Resposta

y(x) = x\ln|x| + Cx

Exercícios relacionados