Questão I: (6,0) Resolva as equações diferencias abaixo.
OBS: Cada uma das equações abaixo deve ser resolvida por um método diferente. Escreva no inicio de cada questão o método escolhido na solução.
Não será corrigida duas questões resolvidas pelo mesmo método. Neste caso, será corrigida apenas a primeira.
(1-2 x y+3 x^2 y^2) d x-(x^2+3 y^2-2 x^3 y) d y=0.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(1 - 2xy + 3x^2y^2),dx - (x^2 + 3y^2 - 2x^3y),dy = 0
Vamos resolver pelo método de equação exata, pois a equação está na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0.

Passo 2

Escrevendo na forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, identificamos
M(x,y) = 1 - 2xy + 3x^2y^2,
N(x,y) = -(x^2 + 3y^2 - 2x^3y)

Passo 3

Para verificar exatidão, calculamos
partial Mpartial y = -2x + 6x^2y,
partial Npartial x = -l(2x - 6x^2yr) = -2x + 6x^2y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x = M(x,y)
Integrando em relação a x:
psi(x,y) = integral(1 - 2xy + 3x^2y^2),dx = x - x^2y + x^3y^2 + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 5

Agora impomos
partial psipartial y = -x^2 + 2x^3y + h'(y)
deve ser igual a
N(x,y) = -l(x^2 + 3y^2 - 2x^3yr) = -x^2 - 3y^2 + 2x^3y
Igualando:
-x^2 + 2x^3y + h'(y) = -x^2 - 3y^2 + 2x^3y
vemos que
h'(y) = -3y^2
e, integrando,
h(y) = -y^3

Passo 6

Substituindo h(y) em psi(x,y) e impondo psi(x,y)=C, obtemos a solução implícita:
psi(x,y) = x - x^2y + x^3y^2 - y^3 = C

Resposta

x - x^2y + x^3y^2 - y^3 = C

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