Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^pi2 2 e^2 x+cos (x)e^2 x+sen(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a tfracpi2 de dfrac2e^2x+cos xe^2x+sin x,dx. O conteúdo é integração por substituição, pois o numerador lembra a derivada do denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = e^2x + sin x, já que queremos reduzir a integral ao formato integral tfracu'u,dx.

Passo 3

Calculamos a derivada de u em relação a x:
du = (2e^2x + cos x),dx
Perceba que isso coincide exatamente com o numerador da integral.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral0^pi2 2e^2x + cos xe^2x + sin x,dx = integralu(0)^u(pi2) 1u,du
pois du = (2e^2x + cos x),dx.

Passo 5

Agora basta integrar integral 1u,du = ln|u| + C e aplicar os limites. Primeiro encontramos os limites em u:
ul(0r) = e^0 + sin0 = 1 + 0 = 1, ul(tfracpi2r) = e^pi + sinl(tfracpi2r) = e^pi + 1

Passo 6

Aplicando esses limites na primitiva ln|u|, obtemos:
lnl(e^pi + 1r) - ln(1) = lnl(e^pi + 1r)

Resposta

lnl(e^pi + 1r)

Exercícios relacionados