Estruture a integral tripla que calcula o volume do sólido limitado pelo cilindro
e pelo parabolóide elíptico
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa montar uma integral tripla para calcular o volume de um sólido que é limitado por dois superfícies: um cilindro dado por
e um paraboloide elíptico dado por
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente na área de cálculo de volumes usando integrais triplas.
Passo 2
Para montar a integral tripla, precisamos primeiro determinar a região de integração. Isso significa encontrar os limites para as variáveis
,
e
que descrevem o sólido entre essas duas superfícies.
Passo 3
Vamos começar encontrando a interseção das duas superfícies para entender até onde elas se encontram. Igualando
e
:
Simplificando:
Isso representa uma elipse no plano
. Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização:
Passo 4
Agora que sabemos que a projeção da região sobre o plano
é uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 na direção
e 2 na direção
, podemos determinar os limites para
e
.
Para
:
Para
, para cada valor de
,
varia de:
Passo 5
Com os limites para
e
definidos, agora vamos determinar os limites para
. Para cada ponto
na elipse,
varia entre o paraboloide
e o cilindro
:
Passo 6
Agora, juntando tudo, nossa integral tripla para calcular o volume será:
Resposta
A integral tripla que calcula o volume do sólido é: