Estruture a integral tripla que calcula o volume do sólido limitado pelo cilindro z=4-x^2 e pelo parabolóide elíptico z=3 x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa montar uma integral tripla para calcular o volume de um sólido que é limitado por dois superfícies: um cilindro dado por e um paraboloide elíptico dado por . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente na área de cálculo de volumes usando integrais triplas.

Passo 2

Para montar a integral tripla, precisamos primeiro determinar a região de integração. Isso significa encontrar os limites para as variáveis , e que descrevem o sólido entre essas duas superfícies.

Passo 3

Vamos começar encontrando a interseção das duas superfícies para entender até onde elas se encontram. Igualando 4 - x^2 = 3x^2 + y^2 e 4 = 4x^2 + y^2 :
x^21 + y^24 = 1
Simplificando:
Isso representa uma elipse no plano . Podemos reescrever essa equação para facilitar a visualização:

Passo 4

Agora que sabemos que a projeção da região sobre o plano -1 <= x <= 1 é uma elipse com semi-eixos de comprimento 1 na direção -2raiz1 - x^2 <= y <= 2raiz1 - x^2 e 2 na direção , podemos determinar os limites para e .
Para :
Para , para cada valor de , varia de:

Passo 5

Com os limites para 3x^2 + y^2 <= z <= 4 - x^2 e definidos, agora vamos determinar os limites para . Para cada ponto na elipse, varia entre o paraboloide e o cilindro :

Passo 6

Agora, juntando tudo, nossa integral tripla para calcular o volume será:
V = integral-1^1 integral-2raiz1 - x^2^2raiz1 - x^2 integral3x^2 + y^2^4 - x^2 dz , dy , dx

Resposta

A integral tripla que calcula o volume do sólido é:
V = integral-1^1 integral-2raiz1 - x^2^2raiz1 - x^2 integral3x^2 + y^2^4 - x^2 dz , dy , dx

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