Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^1(2 x-1)^100 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^1(2x-1)^100,dx usando o método de substituição. Essa é uma integral de potência de função afim, e vamos precisar escolher uma troca de variável que simplifique o expoente.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = 2x - 1. Então du = 2,dx, ou seja, dx = tfracdu2. Quando x=0, temos u=-1; quando x=1, temos u=1. Substituindo na integral, obtemos:
integral0^1(2x-1)^100,dx = integral-1^1u^100cdot du2 = 12integral-1^1u^100,du

Passo 3

Agora precisamos calcular integral-1^1u^100,du. Como o expoente 100 é par, a função u^100 é par e a integral em um intervalo simétrico satisfaz:
integral-1^1u^100,du = 2integral0^1u^100,du
E sabemos que
integral0^1u^100,du = [u^101101]0^1 = 1101

Passo 4

Juntando tudo, a integral original fica:
12integral-1^1u^100,du = 12cdot2cdot1101 = 1101

Resposta

1101

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