integral (x^2+x) d xx^3-x^2+x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^2 + xx^3 - x^2 + x - 1 , dx. O conteúdo envolve integração de funções racionais, e para resolver vamos precisar fatorar o denominador e aplicar frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^3 - x^2 + x - 1 por agrupamento. Separamos em x^2(x-1) + 1(x-1) e obtemos a fatoração (x-1)(x^2+1).

Passo 3

Decompondo a fração em frações parciais, escrevemos x^2 + x(x-1)(x^2+1) = Ax-1 + Bx + Cx^2+1.

Passo 4

Igualando numeradores: x^2 + x = A(x^2+1) + (Bx+C)(x-1). Desenvolvendo e coletando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos o sistema A + B = 1, C - B = 1 e A - C = 0. Da última equação vem C = A. Substituindo em C - B = 1 A - B = 1 e em A + B = 1 resulta A = 1. Logo B = 0 e C = 1.

Passo 5

Com os coeficientes, a integral separa em integral 1x-1 , dx + integral 1x^2+1 , dx, que resultam em lnlvert x-1rvert e arctan x. Portanto, o resultado é lnlvert x-1rvert + arctan x + C.

Resposta

lnlvert x-1rvert + arctan x + C

Exercícios relacionados