Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^pi4 sen(x) ln (cos (x)) d x

Passo 1

A questão pede para calcular integral0^pi4 sin(x),ln(cos(x)),dx usando método de substituição. O conteúdo aqui é integral definida por substituição de variável — a ideia é escrever a parte sin(x),dx em função de outra variável para simplificar o logaritmo.

Passo 2

Vamos trocar a variável usando u=cos(x). Então temos du=-sin(x),dx, ou seja, sin(x),dx=-du. Precisamos ajustar os limites: quando x=0, u=cos(0)=1; quando x=pi4, u=cosl(tfracpi4r)=tfracraiz22.
Substituindo na integral, obtemos
integral0^pi4 sin(x),ln(cos(x)),dx =integralu=1^u=raiz22 ln(u),(-du) =integralraiz22^1 ln(u),du

Passo 3

Agora calculamos a integral indefinida integral ln(u),du. Usamos integração por partes: escolhemos v=ln(u) e dw=du, então dv=tfrac1u,du e w=u. A fórmula integral v,dw=vw-integral w,dv
integral ln(u),du = uln(u) - integral ucdot 1u,du = uln(u) - u + C

Passo 4

Aplicando aos limites,
integralraiz22^1 ln(u),du = l[uln(u)-ur]raiz22^1
Substituindo: para u=1 temos 1ln(1)-1 = -1. Para u=tfracraiz22 temos
raiz22lnl(raiz22r) - raiz22
Como lnl(tfracraiz22r)=ln(raiz2)-ln(2)=tfrac12ln2-ln2=-tfrac12ln2, esse termo fica
raiz22l(-tfrac12ln2r) - raiz22 = -raiz24ln2 - raiz22
Logo a integral definida vale
-1 - l(-raiz24ln2 - raiz22r) = -1 + raiz24ln2 + raiz22
Por fim, podemos agrupar os termos em raiz2:
raiz24(2+ln2) -1

Resposta

raiz24(2+ln2) -1

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