Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que
pode seguir para chegar a
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão:
Isso nos dá duas partes para analisar:
e
.
Passo 3
Vamos testar o caminho onde
. Substituindo
na expressão:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não está definido. Isso já sugere que o limite pode não existir, mas vamos verificar outros caminhos.
Passo 4
Agora, vamos tentar o caminho onde
. Substituindo
:
Novamente, temos uma divisão por zero, indicando que o limite não está bem definido nesse caminho também.
Passo 5
Vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
, onde
é uma constante. Escolhemos
para ver como o limite se comporta conforme
se aproxima de 0.
Substituindo
na expressão original:
Analisando os expoentes:
- Para o primeiro termo
ser finito, precisamos que . - Para o segundo termo
ser finito, queremos .
Isso nos dá:
A única solução que satisfaz ambas as desigualdades é quando
.
Passo 6
Para
, substituímos na expressão simplificada:
Então, ao seguir o caminho
, o limite é 0.
Passo 7
Como encontramos caminhos diferentes que resultam em comportamentos diferentes (como divisão por zero e um caminho que dá 0), isso indica que o limite depende do caminho escolhido. Ou seja, diferentes caminhos levam a diferentes resultados.
Resposta
O limite não existe porque o valor depende do caminho seguido para
se aproximar de
.