Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2-y^6x y^3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim (x, y) (0,0) x^2-y^6x y^3
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que pode seguir para chegar a .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão:
x^2-y^6x y^3 = x^2x y^3 - y^6x y^3 = xy^3 - y^3x
Isso nos dá duas partes para analisar: e .

Passo 3

Vamos testar o caminho onde x0 - 0x . Substituindo na expressão:
Aqui, temos uma divisão por zero, o que não está definido. Isso já sugere que o limite pode não existir, mas vamos verificar outros caminhos.

Passo 4

Agora, vamos tentar o caminho onde 0y^3 - y^30 . Substituindo :
Novamente, temos uma divisão por zero, indicando que o limite não está bem definido nesse caminho também.

Passo 5

Vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, x^2 - (x^k)^6x (x^k)^3 = x^2 - x^6kx cdot x^3k = x^2 - x^6kx^1+3k = x^2x^1+3k - x^6kx^1+3k = x^1 - 3k - x^6k - (1+3k) , onde 1 - 3k >= 0 Rightarrow k <= 13 é uma constante. Escolhemos 3k -1 >= 0 Rightarrow k >= 13 para ver como o limite se comporta conforme se aproxima de 0.
Substituindo na expressão original:
Analisando os expoentes:
  • Para o primeiro termo ser finito, precisamos que .
  • Para o segundo termo ser finito, queremos .
Isso nos dá:
A única solução que satisfaz ambas as desigualdades é quando .

Passo 6

Para x^1 - 3 cdot 13 - x^3 cdot 13 -1 = x^0 - x^0 = 1 - 1 = 0 , substituímos na expressão simplificada:
Então, ao seguir o caminho , o limite é 0.

Passo 7

Como encontramos caminhos diferentes que resultam em comportamentos diferentes (como divisão por zero e um caminho que dá 0), isso indica que o limite depende do caminho escolhido. Ou seja, diferentes caminhos levam a diferentes resultados.

Resposta

O limite não existe porque o valor depende do caminho seguido para se aproximar de .

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