Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^3 e^4 y cos (x+y+pi2)x^2+y^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite de uma função de duas variáveis, ou seja, quando os dois valores lim (x, y) (0,0) x^3 e^4 y cos (x+y+pi2)x^2+y^2 e se aproximam de zero. A função que estamos analisando é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de funções de várias variáveis e também usar algumas propriedades de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão trigonométrica. Lembrando que cos (x+y+pi2) = -sin(x + y) . Então, podemos reescrever o numerador da função:
x^3 e^4 y (-sin(x + y))x^2+y^2 = -x^3 e^4 y sin(x + y)x^2+y^2
Substituindo na expressão original, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa função quando | -x^3 e^4 y sin(x + y)x^2+y^2 | = |x|^3 |e^4 y| |sin(x + y)|x^2+y^2 se aproxima de |x|^3 e^4 y |x + y|x^2+y^2 <= |x|^3 cdot 1 cdot (|x| + |y|)x^2+y^2 . Para isso, podemos usar a propriedade de que se a função pode ser limitada por outra função cujo limite é zero, então o limite da função original também é zero.
Primeiro, vamos aplicar o valor absoluto na função para facilitar:
Sabemos que e, como está se aproximando de zero, se aproxima de 1. Além disso, .
Então, podemos estimar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa estimativa:
|x|^3 (|x| + |y|)x^2+y^2 = |x|^4 + |x|^3 |y|x^2+y^2
Podemos dividir essa expressão em duas partes:
|x|^4x^2+y^2 + |x|^3 |y|x^2+y^2
Vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, para |x|^4x^2+y^2 <= x^2 + y^2 , notamos que , já que é uma das partes de . Então:
Quando , se aproxima de 0.

Passo 6

Para a segunda parte, |x|^3 |y| <= (x^2 + y^2)^32 cdot (x^2 + y^2)^12 = (x^2 + y^2)^2 , podemos usar a desigualdade |x|^3 |y|x^2+y^2 <= x^2 + y^2 , mas isso pode não ser o mais eficiente. Em vez disso, vamos considerar que e .
Então:
Portanto:
Assim como antes, tende a 0 quando se aproxima de .

Passo 7

Juntando as duas partes, temos que:
|x|^4 + |x|^3 |y|x^2+y^2 <= (x^2 + y^2) + (x^2 + y^2) = 2(x^2 + y^2)
Como tende a 0, também tende a 0.

Passo 8

Pelo critério do Squeeze (ou Teorema do Aperto), se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também possui esse limite.
Aqui, nós mostramos que:
0 <= | x^3 e^4 y cos (x+y+pi2)x^2+y^2 | <= 2(x^2 + y^2)
Como tende a 0, então a função original também deve tender a 0.

Resposta

O limite é lim (x, y) (0,0) x^3 e^4 y cos (x+y+pi2)x^2+y^2 = 0 .

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