Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
;
Passo 1
Beleza, galera! A gente precisa calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções senoidais e os termos polinomiais se comportam perto do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função que envolve o seno:
. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (porque qualquer número ao quadrado é positivo e
é o quadrado de
), a desigualdade permanece:
Passo 4
Para encontrar o limite de
quando
, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto). Esse teorema diz que se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função no meio também tem esse limite.
Passo 5
Vamos calcular os limites das funções que estão “espremendo” a nossa função original:
Ambos os limites são 0.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Sanduíche, como:
e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
Resposta
O limite é igual a 0.