Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^4 sin (1x+|y|);

Passo 1

Beleza, galera! A gente precisa calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções senoidais e os termos polinomiais se comportam perto do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que envolve o seno: -1 <= sin(1x + |y|) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa desigualdade por - x^4 <= x^4 sin(1x + |y|) <= x^4 . Como é sempre positivo (porque qualquer número ao quadrado é positivo e é o quadrado de ), a desigualdade permanece:

Passo 4

Para encontrar o limite de quando , podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto). Esse teorema diz que se uma função está “espremida” entre duas funções que têm o mesmo limite em um ponto, então a função no meio também tem esse limite.

Passo 5

Vamos calcular os limites das funções que estão “espremendo” a nossa função original:
lim(x, y) (0,0) (-x^4) = 0
lim(x, y) (0,0) x^4 = 0
Ambos os limites são 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Sanduíche, como:
- x^4 <= x^4 sin(1x + |y|) <= x^4
e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
lim(x, y) (0,0) x^4 sin(1x + |y|) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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