Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
integral0^2 x^2raizx^3+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^2 x^2raizx^3+1,dx. O conteúdo principal é substituição de variáveis, pois o denominador envolve x^3+1 cuja derivada é proporcional a x^2.

Passo 2

Definimos a substituição u = x^3 + 1. Daí a diferencial fica du = 3x^2,dx, ou seja x^2,dx = du3. Os limites de integração mudam de x=0 para u=1 e de x=2 para u=9.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos:
integral0^2 x^2raizx^3+1,dx = integral1^9 1raizu cdot du3 = 13 integral1^9 u^-tfrac12 ,du

Passo 4

Agora basta integrar u^-tfrac12. Temos
13 integral u^-tfrac12 ,du = 13 cdot u^tfrac12tfrac12 = 23 u^tfrac12
Aplicando os limites de 1 a 9:
23l(raiz9 - raiz1r) = 23(3-1) = 43

Resposta

43

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