Volume de um sólido Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume da região no primeiro octante limitada pelo cilindro x^2+z^2=4 e pelo plano y=3. Calcule uma das integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever seis integrais triplas diferentes que calculam o volume de uma região no primeiro octante, limitada pelo cilindro $ x^{2} + z^{2} = 4 $ e pelo plano $ y = 3 $. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral múltiplo, especialmente integrais triplas em coordenadas cartesianas. Além disso, vamos entender um pouco sobre cilindros e como eles definem limites para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos tratando. O primeiro octante significa que $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos. O cilindro $ x^{2} + z^{2} = 4 $ é um cilindro circular com raio 2, alinhado ao eixo $ y $. O plano $ y = 3 $ corta esse cilindro. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa região.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração para as coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $. Como estamos no primeiro octante, $ x $ varia de 0 a 2 (raio do cilindro), $ y $ varia de 0 a 3, e $ z $ varia de 0 até $ \sqrt{4 - x^{2}} $ (resolvendo o cilindro para $ z $).

Passo 4

Agora, vamos escrever uma das integrais triplas. Uma forma de organizar a integração é integrando $ z $ primeiro, depois $ x $, e por último $ y $. Assim, a integral fica:
z

Passo 5

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a $ z $:
z

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a $ x $:
x
Reconhecemos que essa integral representa a área de um quarto de círculo com raio 2. A integral resulta na metade da área desse círculo:
integral0^2 raiz4 - x^2 , dx

Passo 7

Por fim, integramos em relação a $ y $:
y

Resposta

O volume da região é $ 6\pi $ unidades cúbicas.

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