Volume limitado por parabolóides Seja
a região limitada pelos parabolóides
e
. Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume de D. Calcule uma das integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer achar o volume da região D, que tá limitada por dois parabolóides: $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = x^{2} + y^{2} $. Isso tá relacionado ao cálculo de integrais triplas, então vamos precisar entender como configurar essas integrais para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies. O primeiro parabolóide, $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $, é um “teto” que abre para baixo, e o segundo, $ z = x^{2} + y^{2} $, é um “chão” que abre para cima. Eles se intersectam quando $ 8 - x^{2} - y^{2} = x^{2} + y^{2} $, ou seja, quando $ 8 = 2x^{2} + 2y^{2} $, simplificando para $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Isso nos dá o raio da projeção circular na base.
Passo 3
Agora, vamos pensar em coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular. Em coordenadas cilíndricas, $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. A equação da interseção fica $ r^{2} = 4 $, então $ r $ vai de 0 a 2. O ângulo $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $, completando a circunferência.
Passo 4
As funções de $ z $ também mudam para coordenadas cilíndricas:
- O “teto” fica $ z = 8 - r^{2} $
- O “chão” fica $ z = r^{2} $
Então, para cada ponto $ (r, \theta) $, $ z $ varia de $ r^{2} $ até $ 8 - r^{2} $.
Passo 5
Agora, vamos escrever seis integrais triplas diferentes. Algumas variações podem ser na ordem das integrais e nas coordenadas (cilíndricas ou cartesianas). Vamos listar algumas:
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral para achar o volume. Usando coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integramos em $ z $:
Então, a integral fica:
Agora, integramos em $ r $:
Por fim, integramos em $ \theta $:
Resposta
O volume da região D é $ 16\pi $ unidades cúbicas.