Volume limitado por parabolóides Seja D a região limitada pelos parabolóides z=8-x^2-y^2 e z=x^2+y^2. Escreva seis integrais triplas iteradas diferentes para o volume de D. Calcule uma das integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente quer achar o volume da região D, que tá limitada por dois parabolóides: $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $ e $ z = x^{2} + y^{2} $. Isso tá relacionado ao cálculo de integrais triplas, então vamos precisar entender como configurar essas integrais para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies. O primeiro parabolóide, $ z = 8 - x^{2} - y^{2} $, é um “teto” que abre para baixo, e o segundo, $ z = x^{2} + y^{2} $, é um “chão” que abre para cima. Eles se intersectam quando $ 8 - x^{2} - y^{2} = x^{2} + y^{2} $, ou seja, quando $ 8 = 2x^{2} + 2y^{2} $, simplificando para $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Isso nos dá o raio da projeção circular na base.

Passo 3

Agora, vamos pensar em coordenadas cilíndricas, já que a região tem simetria circular. Em coordenadas cilíndricas, $ x = r \cos \theta $, $ y = r \sin \theta $, e $ z = z $. A equação da interseção fica $ r^{2} = 4 $, então $ r $ vai de 0 a 2. O ângulo $ \theta $ vai de 0 a $ 2\pi $, completando a circunferência.

Passo 4

As funções de $ z $ também mudam para coordenadas cilíndricas:
  • O “teto” fica $ z = 8 - r^{2} $
  • O “chão” fica $ z = r^{2} $
Então, para cada ponto $ (r, \theta) $, $ z $ varia de $ r^{2} $ até $ 8 - r^{2} $.

Passo 5

Agora, vamos escrever seis integrais triplas diferentes. Algumas variações podem ser na ordem das integrais e nas coordenadas (cilíndricas ou cartesianas). Vamos listar algumas:
integral0^2pi integral0^2 integralr^2^8 - r^2 r , dz , dr , dtheta
integral-2^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 integralx^2 + y^2^8 - x^2 - y^2 dz , dy , dx
integral0^2 integral0^2pi integralr^2^8 - r^2 r , dz , dtheta , dr
integral0^2 integralr^2^8 - r^2 integral0^2pi r , dtheta , dz , dr
integral0^8 integral0^raiz4 - z2 integral0^2pi r , dtheta , dr , dz
integral-2^2 integral-raiz4 - x^2^raiz4 - x^2 integralx^2+y^2^8 - x^2-y^2 dz , dy , dx

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral para achar o volume. Usando coordenadas cilíndricas:
V = integral0^2pi integral0^2 integralr^2^8 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Primeiro, integramos em $ z $:
z
Então, a integral fica:
integralr^2^8 - r^2 dz = (8 - r^2) - r^2 = 8 - 2r^2
Agora, integramos em $ r $:
V = integral0^2pi integral0^2 r (8 - 2r^2) , dr , dtheta
Por fim, integramos em $ \theta $:
r

Resposta

O volume da região D é $ 16\pi $ unidades cúbicas.

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