Determinar os extremos relativos da função
f(x, y)=x^3+3 x y^2-15 x-12 y
Identificando os pontos que são de máximo e os que são de mínimo, se existirem, justificando sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função de duas variáveis f(x,y)=x³+3xy²−15x−12y. O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos via derivadas parciais e classificação desses pontos usando o teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais
partial fpartial x=3x^2+3y^2-15, partial fpartial y=6xy-12
Essas expressões servem para achar os pontos onde o gradiente se anula.

Passo 3

Precisamos resolver o sistema
3x^2+3y^2-15=0, 6xy-12=0
Da segunda equação vem xy=2, ou y=2/x. Substituindo em x²+y²=5 resulta em x^4−5x²+4=0, logo x²=1 ou x²=4. Assim obtemos os pontos críticos (1,2),(-1,-2),(2,1) e(-2,-1).

Passo 4

Agora montamos a matriz Hessiana
H=fxx&fxyfyx&fyy =6x&6y6y&6x
Em cada ponto crítico calculamos o determinante D= f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})^2 e o sinal de f_{xx}:
  • Em (1,2) e em (-1,-2) encontramos D<0 → ponto de sela.
  • Em (2,1) obtemos D>0 e f_{xx}=12>0 → mínimo local.
  • Em (-2,-1) obtemos D>0 e f_{xx}=-12<0 → máximo local.

Resposta

Os pontos (1,2) e (-1,-2) são pontos de sela; (2,1) é mínimo local; (-2,-1) é máximo local.

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