Determinar os extremos relativos da função
Identificando os pontos que são de máximo e os que são de mínimo, se existirem, justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos relativos da função de duas variáveis f(x,y)=x³+3xy²−15x−12y. O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos via derivadas parciais e classificação desses pontos usando o teste da matriz Hessiana.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais
Essas expressões servem para achar os pontos onde o gradiente se anula.
Passo 3
Precisamos resolver o sistema
Da segunda equação vem xy=2, ou y=2/x. Substituindo em x²+y²=5 resulta em x^4−5x²+4=0, logo x²=1 ou x²=4. Assim obtemos os pontos críticos (1,2),(-1,-2),(2,1) e(-2,-1).
Passo 4
Agora montamos a matriz Hessiana
Em cada ponto crítico calculamos o determinante D= f_{xx}f_{yy}−(f_{xy})^2 e o sinal de f_{xx}:
- Em (1,2) e em (-1,-2) encontramos D<0 → ponto de sela.
- Em (2,1) obtemos D>0 e f_{xx}=12>0 → mínimo local.
- Em (-2,-1) obtemos D>0 e f_{xx}=-12<0 → máximo local.
Resposta
Os pontos (1,2) e (-1,-2) são pontos de sela; (2,1) é mínimo local; (-2,-1) é máximo local.