Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integralpi4^pi3 sec ^2(x)tg^3(x) d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
integralpi/4^pi/3 sec^2(x)tan^3(x),dx
usando substituição. O conteúdo envolvido é método de substituição (u-substituição), para o qual precisamos reconhecer u e du dentro da integral.

Passo 2

Vamos escolher a substituição
u = tan(x), du = sec^2(x),dx
Precisamos também mudar os limites de integração: quando x=pi/4, temos u=tan(pi/4)=1; quando x=pi/3, temos u=tan(pi/3)=raiz3.

Passo 3

Substituindo na integral original, como sec^2(x),dx=du e tan(x)=u, obtemos
integral1^raiz3 u^-3,du
Aqui aplicamos a regra de potência para integrar u^n.

Passo 4

Calculamos a antiderivada de u^-3:
integral u^-3,du = u^-2-2 = -12u^2
Essa é a função cuja derivada devolve u^-3.

Passo 5

Agora avaliamos o resultado nos limites u=1 e u=raiz3:
-12u^2g|1^raiz3 =(-12(raiz3)^2)-(-12cdot1^2) =-16+12 =13

Resposta

13

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