Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral0^pi8 sec ^2(2 x)raiz1+tg(2 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular I=integral0^pi8sec^2(2x)raiz1+tan(2x),dx usando o método de substituição. O conteúdo envolvido é integração por substituição, e vamos precisar conhecer a derivada de tan(2x) e a regra de potência para integrais.

Passo 2

Percebemos que se definirmos u=1+tan(2x), teremos du=d(tan(2x))=2sec^2(2x),dx. Isolando sec^2(2x),dx obtemos:
sec^2(2x),dx=12,du

Passo 3

Substituindo no integrando, a integral original se transforma em
I=integral0^pi8sec^2(2x)raiz1+tan(2x),dx=12integralu(0)^u(pi/8)u^-12,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência na integral de u^-1/2:
12integral u^-12,du=12cdotu^1212=u^12
Logo o antiderivado é raizu=raiz1+tan(2x).

Passo 5

Fazendo a avaliação nos limites: em x=pi8, tan(2x)=1 então u=2 e raizu=raiz2. Em x=0, tan(0)=0 logo u=1 e raizu=1. Assim,
I=l[raiz1+tan(2x)r]0^pi8=raiz2-1

Resposta

raiz2 - 1

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