Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
Passo 1
A questão pede para calcular a integral definida
usando substituição, o que envolve reconhecer que o integrando tem a forma
. Vamos usar a substituição adequada para simplificar a raiz de logaritmo.
Passo 2
Fazemos a substituição
. Então
, e os limites mudam de
para
e de
para
. A integral vira
$$\int_{2}{e{4}} \frac{dx}{x\sqrt{\ln(x)}}
= \int_{\ln(2)}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}},dt$$
Passo 3
Agora precisamos integrar
. A primitiva de
é
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre
e
, temos
Passo 5
Como
, o resultado fica
$$
2\cdot 2 - 2\sqrt{\ln(2)} = 4 - 2\sqrt{\ln(2)}$$
Resposta
4 - 2\sqrt{\ln(2)}