Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição: integral2^e^4 d xx raizln (x)

Passo 1

A questão pede para calcular a integral definida integral2^e^4 dxxraizln(x) usando substituição, o que envolve reconhecer que o integrando tem a forma 1/(xraizln(x)). Vamos usar a substituição adequada para simplificar a raiz de logaritmo.

Passo 2

Fazemos a substituição t=ln(x). Então dt=dxx, e os limites mudam de x=2 para t=ln(2) e de x=e^4 para t=4. A integral vira
$$\int_{2}{e{4}} \frac{dx}{x\sqrt{\ln(x)}}
= \int_{\ln(2)}^{4} \frac{1}{\sqrt{t}},dt$$

Passo 3

Agora precisamos integrar t^-1/2. A primitiva de t^-1/2 é
integral t^-1/2,dt = 2raizt

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre t=ln(2) e t=4, temos
integralln(2)^4 t^-1/2,dt = l[2raiztr]ln(2)^4 = 2raiz4 - 2raizln(2)

Passo 5

Como raiz4=2, o resultado fica
$$
2\cdot 2 - 2\sqrt{\ln(2)} = 4 - 2\sqrt{\ln(2)}$$

Resposta

4 - 2\sqrt{\ln(2)}

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