Determine o maior conjunto no qual a função dada é contínua.
f(x, y)=llx^3-3 x y^2x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0), 0, & (x, y)=(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde estamos no plano . A pergunta quer saber em qual o maior conjunto de pontos essa função é contínua. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade para funções de duas variáveis e como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função fora do ponto f(x, y) = x^3 - 3xy^2x^2 + y^2 . Para qualquer ponto que não seja , a função é dada por:
Aqui, temos um quociente de dois polinômios. Sabemos que funções racionais (quocientes de polinômios) são contínuas onde o denominador não é zero. No nosso caso, o denominador é zero somente no ponto . Portanto, para todos os outros pontos, a função é contínua.

Passo 3

Agora, o ponto crítico é x = r costheta e y = r sintheta . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos ver se o limite da função quando f(r, theta) = (r costheta)^3 - 3(r costheta)(r sintheta)^2r^2 = r^3 cos^3theta - 3r^3 costheta sin^2thetar^2 = r (cos^3theta - 3costheta sin^2theta) se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar:
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de zero, o termo também se aproxima de zero, independente do valor de .

Passo 4

Como o limite da função quando tende a é zero, que é exatamente o valor definido para a função nesse ponto, concluímos que a função é contínua em .

Resposta

O maior conjunto no qual a função é contínua é todo o plano .

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