Determine o maior conjunto no qual a função dada é contínua.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde estamos no plano
. A pergunta quer saber em qual o maior conjunto de pontos essa função é contínua. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade para funções de duas variáveis e como verificar se a função é contínua em todos os pontos ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função fora do ponto
. Para qualquer ponto
que não seja
, a função é dada por:
Aqui, temos um quociente de dois polinômios. Sabemos que funções racionais (quocientes de polinômios) são contínuas onde o denominador não é zero. No nosso caso, o denominador
é zero somente no ponto
. Portanto, para todos os outros pontos, a função é contínua.
Passo 3
Agora, o ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Para isso, vamos ver se o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é zero.
Vamos usar coordenadas polares para facilitar:
Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de zero, o termo
também se aproxima de zero, independente do valor de
.
Passo 4
Como o limite da função quando
tende a
é zero, que é exatamente o valor definido para a função nesse ponto, concluímos que a função é contínua em
.
Resposta
O maior conjunto no qual a função
é contínua é todo o plano
.