Determine a derivada direcional da função dada na direção v : z=x^2 y^3, v=15(3,-4).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional da função z=x{2}y{3} na direção vec v=tfrac15(3,-4). O conteúdo aqui é derivada direcional, que envolve o gradiente de z e o produto escalar com o vetor direção unitário.

Passo 2

Para começar, calculamos o gradiente de z, que é o vetor das derivadas parciais de z. A derivada parcial em relação a x dá 2x y^3 e em relação a y dá 3x^2y^2.
nabla z=(partial zpartial x,partial zpartial y)=l(2x y^3,,3x^2y^2r)

Passo 3

A derivada direcional em vec v é definida por Dvec vz=nabla zcdotvec v. Fazendo o produto escalar:
Dvec vz=(2x y^3,3x^2y^2)cdottfrac15(3,-4) =tfrac15(6x y^3-12x^2y^2)

Resposta

Dvec vz=tfrac15(6x y^3-12x^2y^2)

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