Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
integralpi4^pi3 sec ^2(x)tg^3(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integralpi4^pi3 sec^2(x)tan^3(x),dx usando substituição. O conteúdo é integral por substituição, e vamos precisar usar a derivada de tan(x), que é sec^2(x).

Passo 2

Fazemos a substituição t=tan(x). Então dt=sec^2(x),dx. Quando x=pi4, t=tan(tfracpi4)=1; quando x=pi3, t=tan(tfracpi3)=raiz3.
A integral original se transforma em integral1^raiz3 1t^3,dt porque sec^2(x)tan^3(x),dx=dtt^3.

Passo 3

Integramos integral t^-3,dt usando a fórmula de potência: integral t^n,dt=t^n+1n+1 para nneq -1. Aqui n=-3, então integral t^-3,dt=t^-2-2=-12t^2

Passo 4

Agora avaliamos nos limites de 1 a raiz3:
-12t^2|1^raiz3 = l(-12(raiz3)^2r) - l(-12cdot1^2r) = -16 + 12 = 13

Resposta

13

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