A) (Valor 0.5) Faça um esboço da região
delimitada pelas superfícies
e
.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região T limitada pelas duas superfícies:
• z = 9 − x² − y² (paraboloide voltado para baixo)
• z = 1 + x² + y² (paraboloide voltado para cima)
O conteúdo envolve curvas de interseção de superfícies quádricas e esboço de regiões tridimensionais.
• z = 9 − x² − y² (paraboloide voltado para baixo)
• z = 1 + x² + y² (paraboloide voltado para cima)
O conteúdo envolve curvas de interseção de superfícies quádricas e esboço de regiões tridimensionais.
Passo 2
Para achar a curva de interseção, igualamos as duas expressões de z:
Logo,
Nessa curva,
Então as superfícies se encontram em um círculo de raio 2 no plano z = 5.
Passo 3
A projeção dessa região no plano xy é o disco x² + y² ≤ 4. Para cada ponto desse disco, z varia de z_inferior = 1 + x² + y² até z_superior = 9 − x² − y².
Passo 4
No esboço, siga estes passos:
- Desenhe o sistema de eixos (x, y, z).
- Trace o círculo de interseção no plano z=5, de raio 2.
- Desenhe a “tampa” superior: o paraboloide z = 9 − x² − y², que abre para baixo e atinge z=9 no vértice (0,0).
- Desenhe a “base” inferior: o paraboloide z = 1 + x² + y², que abre para cima e atinge z=1 no vértice (0,0).
- Sombreie a região entre essas duas superfícies, limitada lateralmente pelo círculo x²+y²=4.
Passo 5
Pronto! O esboço mostra dois paraboloides simetricamente um sobre o outro, cruzando-se num círculo de raio 2 ao nível z=5, e a região T fica entre eles.
Resposta
A região T é o “sanduíche” entre o paraboloide voltado para cima z = 1 + x² + y² e o paraboloide voltado para baixo z = 9 − x² − y², limitado lateralmente pelo círculo x² + y² = 4 ao nível z = 5. No esboço, desenhe ambos os paraboloides encontrando-se em um círculo de raio 2 no plano z = 5 e sombreie a parte intermediária.