A) (Valor 0.5) Faça um esboço da região T delimitada pelas superfícies z=9-x^2-y^2 e z=1+x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região T limitada pelas duas superfícies:
• z = 9 − x² − y² (paraboloide voltado para baixo)
• z = 1 + x² + y² (paraboloide voltado para cima)
O conteúdo envolve curvas de interseção de superfícies quádricas e esboço de regiões tridimensionais.

Passo 2

Para achar a curva de interseção, igualamos as duas expressões de z:
9 - x^2 - y^2 = 1 + x^2 + y^2
Logo,
8 = 2(x^2 + y^2) implies x^2 + y^2 = 4
Nessa curva,
z = 1 + x^2 + y^2 = 1 + 4 = 5
Então as superfícies se encontram em um círculo de raio 2 no plano z = 5.

Passo 3

A projeção dessa região no plano xy é o disco x² + y² ≤ 4. Para cada ponto desse disco, z varia de z_inferior = 1 + x² + y² até z_superior = 9 − x² − y².

Passo 4

No esboço, siga estes passos:
  1. Desenhe o sistema de eixos (x, y, z).
  2. Trace o círculo de interseção no plano z=5, de raio 2.
  3. Desenhe a “tampa” superior: o paraboloide z = 9 − x² − y², que abre para baixo e atinge z=9 no vértice (0,0).
  4. Desenhe a “base” inferior: o paraboloide z = 1 + x² + y², que abre para cima e atinge z=1 no vértice (0,0).
  5. Sombreie a região entre essas duas superfícies, limitada lateralmente pelo círculo x²+y²=4.

Passo 5

Pronto! O esboço mostra dois paraboloides simetricamente um sobre o outro, cruzando-se num círculo de raio 2 ao nível z=5, e a região T fica entre eles.

Resposta

A região T é o “sanduíche” entre o paraboloide voltado para cima z = 1 + x² + y² e o paraboloide voltado para baixo z = 9 − x² − y², limitado lateralmente pelo círculo x² + y² = 4 ao nível z = 5. No esboço, desenhe ambos os paraboloides encontrando-se em um círculo de raio 2 no plano z = 5 e sombreie a parte intermediária.

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