B) (Valor 1.5) Usando coordenadas polares, calcule a integral.
Passo 1
Aqui a missão é calcular usando coordenadas polares. O assunto é mudança de variáveis em integrais múltiplas: vamos precisar da expressão de e em termos de e do fator de Jacobiano.
Passo 2
A região de integração é o quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante, definido por , e . Em coordenadas polares fazemos , e o Jacobiano é . Além disso vira . Os limites ficam e .
Passo 3
Substituindo tudo na integral dupla, temos
Agora vamos primeiro calcular a integral em :
Fazemos a substituição de variável , então , ou seja . Quando , e quando , . Assim
Passo 4
Isso mostra que a parte radial vale 9. Falta só integrar em theta: