Dada a integral
integral0^3 integral0^raiz9-x^2 raiz9-x^2-y^2 d y d x
B) (Valor 1.5) Usando coordenadas polares, calcule a integral.

Passo 1

Aqui a missão é calcular I=integral0^3integral0^raiz9-x^2 raiz9 - x^2 - y^2,dy,dx usando coordenadas polares. O assunto é mudança de variáveis em integrais múltiplas: vamos precisar da expressão de x e y em termos de (r,theta) e do fator de Jacobiano.

Passo 2

A região de integração é o quarto de círculo de raio 3 no primeiro quadrante, definido por x>=0, y>=0 e x^2+y^2<=9. Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano é r. Além disso raiz9 - x^2 - y^2 vira raiz9 - r^2. Os limites ficam rin[0,3] e thetain[0,pi/2].

Passo 3

Substituindo tudo na integral dupla, temos
I=integraltheta=0^pi/2integralr=0^3 raiz9 - r^2,r,dr,dtheta
Agora vamos primeiro calcular a integral em r:
integral0^3 rraiz9 - r^2,dr
Fazemos a substituição de variável u=9 - r^2, então du=-2r,dr, ou seja r,dr=-tfrac12 du. Quando r=0, u=9 e quando r=3, u=0. Assim
integral0^3 rraiz9 - r^2,dr = -12integral9^0 u^1/2,du = 12integral0^9 u^1/2,du = 12cdot23u^3/2|0^9 = 13cdot9^3/2 = 9

Passo 4

Isso mostra que a parte radial vale 9. Falta só integrar em theta:
integral0^pi/2 dtheta = pi2

Passo 5

Multiplicando os dois resultados, obtemos
I = 9 times pi2 = 9pi2

Resposta

9pi2

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