Calcule as seguintes integrais, usando substituição trigonométrica:
integral 1x^2 raiz1+x^2 d x

Passo 1

Queremos calcular integral 1x^2raiz1+x^2,dx. O conteúdo principal é substituição trigonométrica para eliminar a raiz.

Passo 2

Fazemos a substituição x=tantheta. Assim, temos:
dx=sec^2theta,dtheta, raiz1+x^2=sectheta

Passo 3

Substituindo na integral:
integral 1x^2raiz1+x^2,dx =integral 1tan^2theta;sectheta;sec^2theta,dtheta =integral secthetatan^2theta,dtheta

Passo 4

Reescrevemos o integrando em termos de senos e cossenos:
secthetatan^2theta =1/costheta(sintheta/costheta)^2 =costhetasin^2theta =cottheta,csctheta
Como tfracddtheta(csctheta)=-cscthetacottheta, segue
integral cottheta,csctheta,dtheta =-csctheta+C

Passo 5

Voltando à variável x: no triângulo com cateto oposto x, adjacente 1 e hipotenusa raiz1+x^2, temos csctheta=tfracraiz1+x^2x. Logo o resultado é
-csctheta + C = -raiz1+x^2x+C

Resposta

-\dfrac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}+C

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