Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
integral tg^3 2 x sec 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan^3(2x)sec(2x),dx usando o método da substituição, ou seja, escolheremos uma função cuja derivada apareça na integral para simplificar o cálculo.

Passo 2

Fazendo a substituição u=sec(2x). Então
du=2sec(2x)tan(2x),dx
Logo,
integral tan^3(2x)sec(2x),dx =integral tan^2(2x)l(tan(2x)sec(2x),dxr) =integral (sec^2(2x)-1)tan(2x)sec(2x),dx
Como tan(2x)sec(2x),dx=tfrac12,du, a integral fica
12integrall(u^2-1r),du

Passo 3

Agora integramos em u:
12integral(u^2-1),du =12l(u^33-ur)+C =u^36-u2+C
Voltando a x com u=sec(2x), obtemos a resultado final.

Resposta

sec^3(2x)6-sec(2x)2+C

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