Limites
Calcule, se existir lim (x, y) (1,1) (x+y)^2-4x+y-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis quando (x,y) se aproxima de (1,1). O conteúdo aqui é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar fatoração para tratar a forma indeterminada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a forma da expressão ao substituir x=1 e y=1. Temos:
(1+1)^2 - 41+1-2 = 4 - 42 - 2 = 00,
o que é uma forma indeterminada.

Passo 3

Para remover a indeterminação, note que o numerador é uma diferença de quadrados. Se chamarmos a = x+y e b = 2, então a^2 - b^2 = (a-b)(a+b). Aplicando isso:
(x+y)^2 - 4 = (x+y)^2 - 2^2 = (x+y - 2)(x+y + 2)

Passo 4

Substituindo de volta na fração, obtemos
(x+y)^2 - 4x+y - 2 = (x+y - 2)(x+y + 2)x+y - 2

Passo 5

Como estamos estudando o limite, podemos simplificar cancelando x+y - 2 (em torno do ponto, mas não exatamente nele):
(x+y - 2)(x+y + 2)x+y - 2 = x+y + 2

Passo 6

Agora basta avaliar a expressão simplificada em (x,y) = (1,1):
1 + 1 + 2 = 4

Resposta

4

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