Limites
Calcule, se existir lim (x, y) (0,0) x^2+yx^4+y^2

Passo 1

A questão pede para calcular lim(x,y)to(0,0)dfracx^2+yx^4+y^2. Isso é um limite de função de duas variáveis e, para existir, o valor tem que ser o mesmo independentemente do caminho de aproximação. Vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e testar diferentes trajetórias.

Passo 2

Uma estratégia clássica é usar caminhos do tipo y = m x^2, onde m é um parâmetro constante. Substituindo na expressão, temos:
x^2 + yx^4 + y^2 = x^2 + m x^2x^4 + m^2 x^4 = (1+m)x^2(1+m^2)x^4 = 1+m1+m^2cdot1x^2

Passo 3

Agora analisamos o limite quando xto 0: se 1+mneq 0, o coeficiente (1+m)/(1+m^2) é finito e positivo, mas 1/x^2to +infty. Logo, para mneq -1, o limite tende a +infty.

Passo 4

Por outro lado, se escolhermos m=-1, isto é, o caminho y=-x^2, a expressão vira:
x^2 - x^2x^4 + x^4 = 02x^4 = 0

Passo 5

Vemos que ao longo de y=-x^2 o limite é zero, enquanto em outros caminhos (por exemplo y=0 que corresponde a m=0) dá +infty. Como obtivemos resultados diferentes, o limite não existe.

Resposta

Não existe

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