Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Vamos precisar reconhecer a expressão sob a raiz como uma diferença de quadrados, completar o quadrado e depois usar
seguido de uma substituição trigonométrica.
Passo 2
Começamos completando o quadrado dentro da raiz. Note que
Então a integral vira
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
, logo
. A integral passa a ser
Passo 4
Agora aplicamos a substituição trigonométrica clássica para
com
. Seja
, então
e
A integral fica
Passo 5
Usamos a identidade
. Então
Como
, temos
Logo o resultado em
é
Passo 6
Voltamos às variáveis originais. Sabemos que
e
. Também
. Assim a primitiva final é
Resposta
(x+1)\sqrt{8 - 2x - x^2} + 9\arcsin\Bigl(\frac{x+1}{3}\Bigr) + C