Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral 2 raiz8-2 x-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2raiz8 - 2x - x^2,dx usando substituição trigonométrica. Vamos precisar reconhecer a expressão sob a raiz como uma diferença de quadrados, completar o quadrado e depois usar u = x+1 seguido de uma substituição trigonométrica.

Passo 2

Começamos completando o quadrado dentro da raiz. Note que
8 - 2x - x^2 = -(x^2 + 2x - 8) = -( (x+1)^2 - 9 ) = 9 - (x+1)^2
Então a integral vira
2integral raiz9 - (x+1)^2,dx

Passo 3

Fazemos a mudança de variável u = x + 1, logo du = dx. A integral passa a ser
2integral raiz9 - u^2,du

Passo 4

Agora aplicamos a substituição trigonométrica clássica para raiza^2 - u^2 com a = 3. Seja u = 3sintheta, então du = 3costheta,dtheta e
raiz9 - u^2 = raiz9 - 9sin^2theta = 3costheta
A integral fica
2integral (3costheta),(3costheta,dtheta) = 18integral cos^2theta,dtheta

Passo 5

Usamos a identidade cos^2theta = tfrac12(1 + cos2theta). Então
18integral cos^2theta,dtheta = 18 integral 1 + cos2theta2,dtheta = 9integral (1 + cos2theta),dtheta = 9l(theta + tfrac12sin2thetar) + C
Como sin2theta = 2sinthetacostheta, temos
tfrac12sin2theta = sinthetacostheta = u3cdotraiz9 - u^23 = uraiz9 - u^29
Logo o resultado em theta é
9theta + uraiz9 - u^2 + C

Passo 6

Voltamos às variáveis originais. Sabemos que u = x+1 e theta = arcsinl(tfracu3r) = arcsinl(tfracx+13r). Também raiz9 - u^2 = raiz8 - 2x - x^2. Assim a primitiva final é
(x+1)raiz8 - 2x - x^2 + 9arcsinl(x+13r) + C

Resposta

(x+1)\sqrt{8 - 2x - x^2} + 9\arcsin\Bigl(\frac{x+1}{3}\Bigr) + C

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