Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
integral-2^2 d xraiz4 x^2+9

Passo 1

Temos a integral definida
integral-2^2 dxraiz4x^2 + 9,
que é uma integral do tipo integral dxraiza^2 x^2 + b^2. O conteúdo principal aqui é a substituição trigonométrica para raízes quadráticas, usando a identidade 1 + tan^2theta = sec^2theta.

Passo 2

Para eliminar a raiz, fazemos a troca
x = 32tantheta
Dessa forma:
dx = 32sec^2theta,dtheta
e
raiz4x^2 + 9 = raiz4l(tfrac32tanthetar)^2 + 9 = raiz9tan^2theta + 9 = 3sectheta

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando os limites: quando x=-2, temos tantheta = -tfrac43 e quando x=2, tantheta = tfrac43. Logo os novos limites são
theta1 = arctanl(-tfrac43r), theta2 = arctanl(tfrac43r)
A integral vira
integraltheta1^theta2 32sec^2theta,dtheta3sectheta = 12 integraltheta1^theta2 sectheta,dtheta

Passo 4

Para integrar sectheta, usamos a primitiva padrão
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C
Logo a integral definida é
12 lnl|sectheta + tanthetar| |theta1^theta2

Passo 5

Agora precisamos avaliar sectheta + tantheta em
$$\theta_2 = \arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\quade\quad\theta_1 = -\arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
theta2 = arctanl(tfrac43r)etheta1 = -arctanl(tfrac43r) ãá
\sec\theta_2 + \tan\theta_2 = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3,
$$
alpha = arctan(tfrac43)

Passo 6

Substituindo esses valores na expressão da integral, temos
12l[ln(3) - ln(tfrac13)r] = 12lnl(9r) = ln(3)

Resposta

ln(3)

Exercícios relacionados