Calcule as seguintes integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Temos a integral definida
que é uma integral do tipo
. O conteúdo principal aqui é a substituição trigonométrica para raízes quadráticas, usando a identidade
.
Passo 2
Para eliminar a raiz, fazemos a troca
Dessa forma:
e
Passo 3
Substituindo na integral e ajustando os limites: quando
, temos
e quando
,
. Logo os novos limites são
A integral vira
Passo 4
Para integrar
, usamos a primitiva padrão
Logo a integral definida é
Passo 5
Agora precisamos avaliar
sectheta + tantheta em
$$\theta_2 = \arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\quade\quad\theta_1 = -\arctan\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr).
\sec\theta_2 + \tan\theta_2 = \frac{5}{3} + \frac{4}{3} = 3,
$$
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão da integral, temos