Identifique a região de R^2 onde as funções dadas s g0 diferenciáveis:
ll a) f(x, y)=x^2 y+x y^2 & b) z=e^x y^2
c) z=x y^2x^2+y^2
d) z=ln (x y)
e) z=sen 2 x yraizx^2+y^2
f) f(x, y)=e^x^2-y^2
g) f(x, y)=(x^2+y^2) sen(x^2+y^2)
h) f(x, y)=arctg 2 x y
i) z=yx j) z=1(x-1)^2+(y-1)^2
k) f(x, y)=clraizx^2+y^2+1, & sc x^2+y^2<1 0, & sc x^2+y^2 >= 1

Passo 1

O enunciado pede para cada função de duas variáveis identificar em quais pontos de R^2 ela é diferenciável. O tema é diferenciabilidade de funções reais de duas variáveis e vamos precisar usar as regras de soma, produto, quociente e composição de funções diferenciáveis, além de prestar atenção nas restrições de domínio (denominadores, argumentos de log, radicais etc.).

Passo 2

Em geral, toda combinação de funções diferenciáveis (polinômios, exponencial, sin, arctan, soma e produto) é diferenciável no conjunto onde a operação faz sentido. Para quocientes f/g, exigimos gneq0. Para ln(u), exigimos u>0. Para radicais raizu, exigimos u>0.

Passo 3

As funções f(x,y)=x^2y+xy^2, z=e^xy^2, f(x,y)=e^x^2-y^2, f(x,y)=(x^2+y^2)sin(x^2+y^2) e f(x,y)=arctan(2xy) são compostas por polinômios, exponencial, sen e arctan, todas suaves em R. Logo, elas são diferenciáveis em todo R^2.

Passo 4

Para z=dfracxy^2x^2+y^2 temos um quociente: o denominador x^2+y^2 não pode ser zero. Portanto, a função é diferenciável em todos os pontos tais que x^2+y^2neq0, ou seja, exceto em (0,0).

Passo 5

Para z=ln(xy) o argumento do log deve ser positivo, ou seja, xy>0. No domínio xy>0 ela é composição de ln com função diferenciável, logo diferenciável em (x,y):xy>0.

Passo 6

Para z=sinl(tfrac2xyraizx^2+y^2r) precisamos que raizx^2+y^2neq0, isto é, (x,y)neq(0,0). Fora da origem, a composição de funções suaves garante diferenciabilidade em (x,y)neq(0,0).

Passo 7

Para z=dfracyx o denominador não pode ser zero, logo diferenciável em (x,y):xneq0.

Passo 8

Para z=dfrac1(x-1)^2+(y-1)^2 o denominador não pode anular, ou seja, (x,y)neq(1,1). Assim, é diferenciável em (x,y)neq(1,1).

Passo 9

A função por partes f(x,y)=raizx^2+y^2+1,&x^2+y^2<10,&x^2+y^2>=1 é suave em cada região aberta x^2+y^2<1 e x^2+y^2>1, mas na fronteira x^2+y^2=1 ela é descontínua ( raiz2neq0), portanto não é diferenciável ali.

Resposta

a) R^2
b) R^2
c) (x,y)inR^2:x^2+y^2neq0
d) (x,y)inR^2:xy>0
e) (x,y)inR^2:(x,y)neq(0,0)
f) R^2
g) R^2
h) R^2
i) (x,y)inR^2:xneq0
j) (x,y)inR^2:(x,y)neq(1,1)
k) (x,y):x^2+y^2<1cup(x,y):x^2+y^2>1

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