Identifique a região de
onde as funções dadas s
diferenciáveis:
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
k)
Passo 1
O enunciado pede para cada função de duas variáveis identificar em quais pontos de
ela é diferenciável. O tema é diferenciabilidade de funções reais de duas variáveis e vamos precisar usar as regras de soma, produto, quociente e composição de funções diferenciáveis, além de prestar atenção nas restrições de domínio (denominadores, argumentos de log, radicais etc.).
Passo 2
Em geral, toda combinação de funções diferenciáveis (polinômios, exponencial,
,
, soma e produto) é diferenciável no conjunto onde a operação faz sentido. Para quocientes
, exigimos
. Para
, exigimos
. Para radicais
, exigimos
.
Passo 3
As funções
,
,
,
e
são compostas por polinômios, exponencial, sen e arctan, todas suaves em
. Logo, elas são diferenciáveis em todo
.
Passo 4
Para
temos um quociente: o denominador
não pode ser zero. Portanto, a função é diferenciável em todos os pontos tais que
, ou seja, exceto em
.
Passo 5
Para
o argumento do log deve ser positivo, ou seja,
. No domínio
ela é composição de
com função diferenciável, logo diferenciável em
.
Passo 6
Para
precisamos que
, isto é,
. Fora da origem, a composição de funções suaves garante diferenciabilidade em
.
Passo 7
Para
o denominador não pode ser zero, logo diferenciável em
.
Passo 8
Para
o denominador não pode anular, ou seja,
. Assim, é diferenciável em
.
Passo 9
A função por partes
é suave em cada região aberta
e
, mas na fronteira
ela é descontínua (
), portanto não é diferenciável ali.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)