Determine a derivada
j) f(x)=e^-x arctan e^xtan x

Passo 1

Estamos calculando a derivada de uma função do tipo quociente: f(x)= dfrace^-x,arctan(e^x)tan x. Vamos usar regra do quociente, regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Seja o numerador N(x)= e^-x,arctan(e^x) e o denominador D(x)= tan x. Pela regra do quociente temos f'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)[D(x)]^2

Passo 3

Calculamos primeiro D’(x). Como D(x)= tan x, pela derivada da tangente: D'(x)=sec^2 x

Passo 4

Agora derivamos N(x) aplicando produto u(x)= e^-x e v(x)= arctan(e^x). Temos u’(x)= -e^-x e, pela regra da cadeia, v’(x)= e^x1+e^2x. Então
N'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=-e^-x,arctan(e^x)+e^-xcdote^x1+e^2x=-e^-x,arctan(e^x)+11+e^2x

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
f'(x)=l(-e^-x,arctan(e^x)+11+e^2xr)tan x - e^-x,arctan(e^x)sec^2 xtan^2 x

Passo 6

Podemos escrever de forma mais compacta:
f'(x)=1tan^2 xl[tan x1+e^2x - e^-x,arctan(e^x)l(tan x+sec^2 xr)r]

Resposta

f'(x)=1tan^2 xl[tan x1+e^2x - e^-x,arctan(e^x)l(tan x+sec^2 xr)r]

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