Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
d) integral x d xraiz1-x^2, use x=sen(t)

Passo 1

Temos a integral integral xraiz1-x^2,dx e a sugestão de usar a substituição x=sin(t). O objetivo é simplificar a expressão raiz1-x^2 por meio da trigonometria.

Passo 2

Com a substituição x=sin(t) obtemos
dx = cos(t),dt
e
raiz1-x^2 = raiz1-sin^2(t) = cos(t) considerando cos(t)>=0 para a raiz.

Passo 3

Substituindo na integral, temos:
integral x,dxraiz1-x^2 = integral sin(t),cos(t),dtcos(t) = integral sin(t),dt

Passo 4

Agora, basta integrar sin(t):
integral sin(t),dt = -cos(t) + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x. Como
cos(t) = raiz1-sin^2(t) = raiz1-x^2, concluímos que
-cos(t) + C = -raiz1-x^2 + C.

Resposta

-raiz1-x^2+C

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