T(x, y, z)=x y z1+x^2+y^2+z^2
(a) Encontre a taxa de variação da temperatura em relação à distância em (1,1,1) na direção da origem.

Passo 1

A questão dá a função de temperatura T(x,y,z)=xyz1+x^2+y^2+z^2 e pede a taxa de variação de T no ponto (1,1,1) na direção da origem. Para isso, vamos usar o gradiente de T e o vetor unitário que aponta de (1,1,1) para (0,0,0).

Passo 2

Aplique a regra do quociente para encontrar as derivadas parciais. Se definirmos N(x,y,z)=xyz e D(x,y,z)=1+x^2+y^2+z^2, então
partial Tpartial x=Nx,D - N,DxD^2
Como
Nx=yz,
e
Dx=2x,
segue
partial Tpartial x=yz,(1+x^2+y^2+z^2)-xyz,2x(1+x^2+y^2+z^2)^2
Por simetria, as expressões para partial T/partial y e partial T/partial z são análogas permutando x,y,z.

Passo 3

Avalie as derivadas parciais em (1,1,1). Nesse ponto temos
yz=1, 1+x^2+y^2+z^2=4,
então
partial Tpartial x(1,1,1)=1cdot4 - 1cdot24^2=216=18
Pelos mesmos cálculos,
partial Tpartial y(1,1,1)=18, partial Tpartial z(1,1,1)=18
Logo
nabla T(1,1,1)=l(tfrac18,tfrac18,tfrac18r)

Passo 4

Encontre o vetor unitário na direção da origem. O vetor que liga (1,1,1) a (0,0,0) é (-1,-1,-1), e seu comprimento é raiz3. Assim
u=(-1,-1,-1)raiz3

Passo 5

A taxa de variação de T na direção de u é o produto escalar
DuT=nabla T(1,1,1)cdotu=l(tfrac18,tfrac18,tfrac18r)cdot(-1,-1,-1)raiz3=-38raiz3=-raiz38

Passo 6

A taxa de variação buscada é negativa, indicando que a temperatura diminui ao nos aproximarmos da origem.

Resposta

-tfracraiz38

Exercícios relacionados