(a) Encontre a taxa de variação da temperatura em relação à distância em
na direção da origem.
Passo 1
A questão dá a função de temperatura
e pede a taxa de variação de
no ponto
na direção da origem. Para isso, vamos usar o gradiente de
e o vetor unitário que aponta de
para
.
Passo 2
Aplique a regra do quociente para encontrar as derivadas parciais. Se definirmos
e
, então
Como
e
segue
Por simetria, as expressões para
e
são análogas permutando
.
Passo 3
Avalie as derivadas parciais em
. Nesse ponto temos
então
Pelos mesmos cálculos,
Logo
Passo 4
Encontre o vetor unitário na direção da origem. O vetor que liga
a
é
, e seu comprimento é
. Assim
Passo 5
A taxa de variação de
na direção de
é o produto escalar
Passo 6
A taxa de variação buscada é negativa, indicando que a temperatura diminui ao nos aproximarmos da origem.