Calcule as seguintes integrais, usando as substituições dadas:
\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2}-2}} d x, use x=\sqrt{2} \operatorname{sec} u

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx
usando a substituição trigonométrica
x = \sqrt{2}\,\operatorname{sec} u.
O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, em que expressamos x, dx e \sqrt{x^{2}-2} em função de u.

Passo 2

Com x = \sqrt{2}\,\operatorname{sec} u, temos
dx = \sqrt{2}\,\operatorname{sec} u\tan u \,du,
e
x^{2}-2 = 2\operatorname{sec}^{2}u - 2 = 2(\operatorname{sec}^{2}u -1) = 2\tan^{2}u \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x^{2}-2} = \sqrt{2}\,\lvert\tan u\rvert.
Escolhendo o ramo em que \tan u\ge0, podemos escrever \sqrt{x^{2}-2}=\sqrt{2}\,\tan u.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx = \int \frac{\sqrt{2}\,\operatorname{sec} u\tan u \,du}{(\sqrt{2}\,\operatorname{sec} u)\,(\sqrt{2}\,\tan u)} = \int \frac{\sqrt{2}\,\operatorname{sec} u\tan u}{2\,\operatorname{sec} u\tan u}\,du = \int \frac{\sqrt{2}}{2}\,du = \frac{1}{\sqrt{2}}\int du.

Passo 4

Integramos em u:
\frac{1}{\sqrt{2}}\int du = \frac{u}{\sqrt{2}} + C.

Passo 5

Falta voltar para x. Da substituição \operatorname{sec} u = \tfrac{x}{\sqrt{2}} segue
u = \arcsec\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2}}\Bigr).
Logo a primitiva é
\frac{1}{\sqrt{2}}\;\arcsec\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

Resposta

\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\;\arcsec\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt{2}}\Bigr) + C.

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